傅里葉變換公式推導（一）

一、概述

你眼中看似落葉紛飛變化無常的世界，實際只是躺在上帝懷中一份早已譜好的樂章；而你眼中那變化多端，複雜多樣的函數，實際只是由不同幅度（幅度譜），不同相位（相位譜）的正弦波所組成；而這神奇的函數變換規律，就來源於傅里葉變換，學習傅里葉變換，讓我們透過現象看本質。
下面的圖是由不同的正弦波所構成的矩形脈衝，它就像不同的齒輪相互嵌套旋轉所形成。

二、完備正交函數集

我們先從空間中的一個點來開始討論，我們應該怎樣去定位它，在二維空間中，我們採用了一個X,Y兩條座標軸去確定點在空間的位置，而在三維空間中，我們引入了Z軸，構成三維的座標系。那倘若在N維的空間呢，我們不妨想想，座標的本質是每兩條的座標軸都互相垂直，如果我們能找到N條相互垂直的函數（函數的垂直是在一定的區間，函數內積的積分爲零），是不是就可以去確定在N維空間上的點。而這樣的函數集我們稱之爲正交函數集。在正交函數集中，若不存在任何的非零函數，那麼便稱之爲完備正交函數集。例如：

三角函數完備正交集：sin 0,cos 0,sin x,cos x,sin2x,cos2x…sin nx,cos nx

傅里葉變換是從三角函數的正交性推導而來，這是之後推導的數學基礎。可以任選其中的兩個三角函數加以證明。

三、週期函數的傅里葉級數

由三角函數的正交性可知，一個週期函數可由完備正交函數集展開，即正交分解。假設有一個週期爲2π的函數，那麼它一定可以由前面的三角正交函數集分解，其形式爲：

由上式可知，裏面的未知變量有a0,an,bn。接下來，對它們進行求解：

1. a0求解，對上述式子左右兩邊進行定積分：
   注：其中cos0與cosnx或sinnx，由於它們是三角正交函數集的兩項，所以對它們的積分爲零
   
2. an的求解，等式兩邊乘以cosmx，然後兩邊進行定積分
   
   
3. bn的求解，等式兩邊乘以sin mx，然後兩邊進行定積分
   
   對上式進行整理，便可得到週期爲2π的傅里葉級數的式子：
   
   注：其中的a0的求解值將1/2放到原式