一、集合的映射
高等數學中學過的函數關係 y = f(x) 是從實數集 R (或其子集)到 R 中的一種對應關係， 這個概念可以推廣到一般集合上。
定義1.1：設A, B是兩個非空集合，若存在一個對應關係 f 使得對∀x ∈ A，存在唯一的一個y ∈ B 與之對應，則f稱爲 A 到 B 的映射，記爲 f : A → B 。y 稱爲 x 在映射 f 下的像， 記爲 y = f(x) 或 y = fx 。A 稱爲映射 f 的定義域，記爲 D(f) ，像的集合 f(A) ={f(x)∀x ∈ A}稱爲 f 的值域，記爲 R(f) 。
映射 f : A → B ,當 B 爲數集時， f 通常稱爲泛函；當 A, B 皆爲數集時，
f 稱爲函數。
有了上面的基本定義，下面我們來討論單射、滿射、雙射。
單射：
定義1.2：對 ∀x1, x2 ∈ A，若 x1 , x2 ，恆有 f(x1) , f(x2) ，即對 ∀y ∈ R(f) ，存在唯一的一個 x ∈ A 使得 f(x) = y，則 f 稱爲單射。
滿射：
定義1.3：設映射 f : A → B, 若 R(f) = B，則 f 稱爲滿射。也即B中每一個元素都有A中元素與之對應。
雙射：
既滿足單射也滿足雙射
二、可數集與不可數集
2.1集合的基數
我們對於有限可數集合中元素的計算有很好的概念，但是對於無限集合呢？下面我將引入無限集合中元素的多少及分類方法。
定義2.1.1：設 A, B 是兩個集合，若存在一個雙射 f : A → B ，則稱 A 與 B 是對等的，記爲 A ∼ B 。若 A 與 B 是對等的， 則稱 A 與 B 有相同的 基數。
對於有限集 A, B 而言，A ∼ B 等價於它們元素的個數是相同的。如 {1, 2, 3} 與 {1, 3, 5} 是對等的。 對於無限集，對等的概念爲集合的分類提供了一種有效的方法。
2.2可數集與不可數集
對於無限集，可分爲兩大類，可數集與不可數集。
定義2.2.1：設 A 是一個非空集，如果 A 與自然數集 N 對等, 則集合 A 稱爲可數集或可列集。
也就是說，集合A中的元素和自然數集中的元素對等，比如{4，5，6，······}與自然數集{1，2，3，4，······}對等，則{4，5，6，······}是可數集。有限集和可數集統稱爲至多可數集。
若集合不是至多可數集則就是不可數集。也可以說，與實數R或者（0，1）存在對等，則是不可數集合。
通俗來講，就是可數集可以一個一個按着順序的數出來，而不可數集不能一個一個數出來。比如（0，1）區間內可以說有無數個元素，並不能一個一個數出來。
2.3確界存在原理
定義2.3.1：設 E ⊂ R 是一個非空集，
如果存在一個實數 b ∈ R ， 使得對 ∀x ∈ E 皆有 x ≤ b ， 則稱 b 爲 E 的一個上界；集 E 稱爲上有界集。
如果存在一個實數 a ∈ R ， 使得對 ∀x ∈ E 皆有 x ≥ a ，則稱 a 爲 E 的一個下界；集 E 稱爲下有界集。
很顯然，若 E 有一個上(下)界，則必有無數個上(下)界。 那麼對 E 而言，是否存在最小上界和最大下界？下面對於一般實數集的最小上界和最大下界給出一個確切定義。
定義2.3.2：
設 E 是一個上有界集，若存在一個數 µ ∈ R 滿足下列兩個條件：
·對 ∀x ∈ E ，皆有 x ≤ µ ；
·對 ∀ε > 0 , 都有一個 x0 ∈ E ，使得 x0 > µ − ε 。
（這兩句話的意思是：上確界減去一個極小的數ε後，就不是上確界了。因爲他不再大於x0，下確界同理）
則稱 µ 爲 E 的上確界， 記爲 µ = sup E ，或 µ = sup {x|x ∈ E}。
設 E 是一個下有界集，若存在一個數 γ ∈ R 滿足下列兩個條件：
·對 ∀x ∈ E ，皆有 x ≥ γ ；
·對 ∀ε > 0 , 都有一個 x0 ∈ E ，使得 x0 < γ + ε 。
則稱 γ 爲 E 的下確界， 記爲 γ = inf E ，或 γ = inf {x|x ∈ E}。
下面引出確界存在原理：
(確界存在原理) 任何非空有上界的實數集必有上確界；任何非空有下界的
實數集必有下確界。
確界存在原理有什麼用呢？
高等數學中的定理：單調有界數列必有極限。就是用確界存在原理證明的。下面給出證明：
證明 我們不妨假定數列是單調增加，且上有界。
設 {xn; n ∈ N} 是單調有上界數列，x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ · · · ≤ xn ≤ xn+1 ≤ · · · < M.
由確界存在原理， {xn; n ∈ N} 必有上確界 sup {xn, n ∈ N} ，記爲 µ 。
於是對 ∀ε > 0 ，由上確界定義知，存在至少一個 xN ∈ {xn; n ∈ N} , 使得：
µ − ε < xN ≤ µ
由於 {xn} 是單調增加的，故當 n > N 時，
有µ − ε < xN ≤ xn ≤ µ < µ + ε
即 |xn − µ| < ε ，依極限的定義有 limn→∞xn = µ 。