P2303 [SDOI2012] Longge 的問題(歐拉函數，推式子)

P2303 [SDOI2012] Longge 的問題

題意：求

推式子

∑ i = 1 n g c d ( i , n ) ∑ d ∣ n d ∑ i = 1 n [ g c d ( i , n ) = d ] ∑ d ∣ n d ∑ i = 1 n d [ g c d ( i , n d ) = 1 ] ∑ d ∣ n d ϕ ( n d ) \sum_{i=1}^ngcd(i,n)\\ \sum_{d|n}d\sum_{i=1}^n[gcd(i,n)=d]\\ \sum_{d|n}d\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}[gcd(i,\frac{n}{d})=1]\\ \sum_{d|n}d\phi(\frac{n}{d})\\ i=1∑n​gcd(i,n)d∣n∑​di=1∑n​[gcd(i,n)=d]d∣n∑​di=1∑dn​​[gcd(i,dn​)=1]d∣n∑​dϕ(dn​)
第一個式子：題目。

第二個式子：我們加一個枚舉，枚舉n的因子d（因爲 g c d ( i , n ) gcd(i,n) gcd(i,n)一定是d的因子），然後統計 [ 1 , n ] [1,n] [1,n]中有多少個 g c d ( i , n ) = d gcd(i,n)=d gcd(i,n)=d，乘起來就是這個d對答案的貢獻，把每個d算一遍，就是答案了。

第三個式子：我們可以這樣理解 g c d ( i , n ) = d ， 等 價 於 g c d ( i d , n d ) = 1 gcd(i,n)=d，等價於gcd(\frac id,\frac nd)=1 gcd(i,n)=d，等價於gcd(di​,dn​)=1，也就是我們可以在 [ 1 , n / d ] [1,n/d] [1,n/d]枚舉 i i i,判斷有多少個 g c d ( i , n d ) = 1 gcd(i,\frac nd)=1 gcd(i,dn​)=1等價於在 [ 1 , n ] [1,n] [1,n]枚舉 i i i判斷有多少個 g c d ( i , n ) = d gcd(i,n)=d gcd(i,n)=d。

第四個式子：歐拉函數的定義。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll phi(ll x) {
   
   
	//根據歐拉函數的性質，求歐拉函數值
    ll n = x, res = x;
    if(x == 1 || x == 2) return 1;
    for(ll i=2; i*i<=x; i++) {
   
   
        if(n % i == 0) {
   
   
            res = res/i*(i-1);
            while(n % i == 0) n /= i;
        }
    }
    if(n > 1) res -= res/n;
    return res;
}
int main() {
   
   
    ll n, ans = 0;
    cin >> n;
    for(ll i=1; i*i<=n; i++) {
   
   //枚舉n的每個因子
        if(n % i == 0) {
   
   
            ans += phi(i)*(n/i);
            //如果i*i != n，i和n/i就不相等了，就可以都加起來，不然的話只能加一遍。
            if(n/i != i) ans += phi(n/i)*i;
        }
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

End