Fibonacci數列通項公式

通常方法

F[0]=0, F[1]=1, F[n]=F[n-1]+F[n-2] (n>1)

改寫爲簡單的形式：F[n] = F[n-1] + F[n-2] + [n=1]

採用機械方法得到封閉形式：

\[\begin{align} \sum_nF[n]x^n &= \sum_nF[n-1]x^n + \sum_nF[n-2]x^n + \sum_n[n=1]x^n\\ F(x) &= xF(x) + x^2F(x) + x\\ F(x) &= \frac x{1-x-x^2} \end{align} \]

考慮將其寫成若干個 \(\dfrac1{1-cx^k}\) 的和， 爲此將分母因式分解：

解 \(1-x-x^2 = 0\) 得 \(x_1 = -\dfrac{1 + \sqrt5}{2}\)，\(x_2 = -\dfrac{1-\sqrt5}2\)。

於是有 \(F(x) = \dfrac x{(x-x_1)(x-x_2)}\)。

考慮 \(\dfrac1{x-x_1}-\dfrac1{x-x_2} = \dfrac{x_2-x_1}{(x-x_1)(x-x_2)}\)，則 \(F(x) = \dfrac{x}{x_2-x_1}\left(\dfrac1{x-x_1}-\dfrac1{x-x_2}\right)\)。

考慮調整：\(F(x) = \dfrac{x}{x_2-x_1}\left(\dfrac1{x_2}\dfrac1{1-x/x_2}-\dfrac1{x_1}\dfrac1{1-x/x_1}\right)\)

可以比較輕鬆地看出 \([x^n]F(x)\)， 具體地：

\[\begin{align} [x^n]F(x) &= [x^n]\frac1{x_2-x_1}\frac1{x_2}\frac x{1-x/x_2} - [x^n]\frac1{x_2-x_1}\frac1{x_1}\frac x{1-x/x_1}\\ &= [x^n]\frac1{x_2-x_1}\frac1{x_2}\sum_n \frac{x^{n+1}}{x_2^n} - [x^n]\frac1{x_2-x_1}\frac1{x_1}\sum_n \frac{x^{n+1}}{x_1^n}\\ &= \frac1{x_2-x_1}\left(\frac1{x_2^n}-\frac1{x_1^n}\right) \end{align} \]

整理後就得到：

\[F[n] = \frac{\sqrt5}5\left[\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)^n\right] \]

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特徵根法

特徵方程： 特徵方程可以用於求解線性遞推數列的通項公式，其步驟是：將數列假設爲一個等比數列並求出特徵根， 再代入初始數列的值求出特徵根的係數， 從而得到通項公式。

設 \(\sf F_n = \lambda^n\)， 就有：\(\sf\lambda^n = \lambda^{n-1} + \lambda^{n-2}\)。

令 n=2， 就有：\(\sf\lambda^2 = \lambda+1\)， 解方程得到：

\[\sf\lambda_1 = \frac{1+\sqrt 5}2,\sf\lambda_2 = \frac{1-\sqrt 5}2 \]

根據特徵根法的結論， 數列的通項公式可以表示爲：\(\sf F_n = p\lambda_1^n + q\lambda_2^n\)。

把 n=0,n=1 分別代入得到：

\[\begin{cases} \sf p\lambda_1 + q\lambda_2 = 1\\ \sf p + q = 0 \end{cases} \]

解得：\(\begin{cases}\sf p=\dfrac1{\sqrt5}\\\sf q=-\dfrac1{\sqrt5}\end{cases}\)

那麼就可以得到通項公式了。