案例二：剩之愈小，割之彌細——“小數除法”單元學習主題教學
小數除法是小學數學的常規教學內容，是小學數學的核心內容之一。從數的擴充角度看，小數既吸收了自然數十進制的優勢，同時也兼具了分數等分的思想，因此，它可以被看作一類特殊的分數，也可以被看作自然數的繼續細分與擴展；小數除法的算理與加法和減法有相似之處，都是對計數單位的累加、減少或細分。但在計算乘除法時，都有一個計數單位再確定的過程，因此，乘除法較之加減法更難，學生學習時表現出更大的差異。
研究小數除法單元對於自然數、小數等數的運算有很好的遷移和借鑑作用我們從運算對象、運算意義、算理與算法、計算應用四個維度對運算能力進行了梳理。運算對象——數，或源於生活，或人爲定義；運算意義——數與數之間定義的某種關係，即運算；算理與算法——一切運算都是有道理的，這種道理有時源自生活，有時則來自數學內部的相容；計算應用——運算，最終要回歸生活，解決問題是目的。
自然數是人們對周圍事物數量多少和位置順序的刻畫，其本質是一一對應的。小數是十進制計數向相反方向延伸的結果，這種延伸源於生活中計量的需要，並非分數的附庸。分數體現的是分實物的度量以及除法運算的封閉性。
“算理與算法”是貫穿整個運算能力始終的。因此我們在培養學生運算能力的核心素養時，聚焦運算的算理與算法，並要以此爲立足點。
單元學習目標的確定，第一步是要對單元內容進行整體分析。首先，橫向梳理教材，把握來龍去脈；其次是進行橫向梳理，凸顯核心本質。第一，從計量走向計數，以計量單位的轉換支撐計數單位的轉換。史寧中教授認爲：數量關係的本質是多少，數的關係的本質是大小，數是對數量的抽象。數量是現實生活中的事物量，看得見摸得着，而數卻是抽象的存在。因此用於衡量數量多少的計量單位是也是具體的，如1元、1米等，而用於計數的計數單位卻更加抽象，因爲它隱藏在位置裏面。因此，要賦予計數單位一個實物原型的支撐，如1元對應於1，那麼1角對應於0.1。第二，藉助直觀模型理解算理，以直觀模型促進學生感悟位值思想。直觀模型可以是實物模型，也可以是數線模型，還有面積模型等等。
單元學習目標的確定，第二步是要分析學情。爲了更好地發現學生的思維節點，對比直觀模型的價值和有效性，可以進行前測調研。在調研中發現學生的思維難點在哪裏，以此作爲我們後期設計教學目標的依據。
單元學習目標確定的第三步是學習內容本質的分析。對於小數除法的核心本質，有如下的思考：一、從運算對象——小數意義的角度看，小數既是特殊的十進分數，同時在數的表示上又與自然數相同。二、從運算意義——除法意義的角度看，將除數是整數的小數除法理解爲平均分更合理，除數是小數的小數除法則可以讓學生更清楚的理解包含除法。三、從算理與算法——運算律的角度看，商不變的性質作爲轉化的保障，其本質就是計數單位的同步轉換。因此，可以從除數是整數的小數除法入手，按平均分去理解小數除法，用計數單位細分的方式幫助學生理解算理。
反思✪ω✪
我們在數學教學中，更多的是強調如何才能讓學生學得明白。怎麼才能學得明白？教師要從教材中看到學生看不到的東西。除了知識以外，所滲透的更重要的東西是什麼？那就是數學核心本質與要培養學生的核心素養。通過深度學習的研究發現，深度參與和思考主要要突出以下幾點：
一、明確小數除法的算理，發展學生的運算能力。小數除法的算理，其實就是整數除法的算理，只不過隨着物體分的過程中，單位的變小，計數單位的個數在增加。二者從意義上原本是一回事，所以小數除法的算理，對於學生並不複雜。但是不好理解的是，怎麼能夠讓學生看到這樣微小的單位分的過程中，而能夠與前面的相關知識建立聯繫。例如第一課時中，計算到剩餘的兩元錢如何處理時，就是在引發衝突，強調“換”的環節。在這裏，要讓學生充分體會到換的必要性，換單位，主要是把單位換小，同時單位的數量會變多，學生形象的認爲這就相當於把剛纔的兩元錢撕開了，這就是單位的細分，打破了學生整數除法中的固有思維，此處，也是和學生原來學習的有餘數的除法一個最密切的銜接點。
二、藉助直觀模型理解算理，以計量單位的轉換支撐計數單位的轉換。課堂中，賦予小數除法一種現實背景，實際上就是賦予計數單位一個實物模型的支撐，如1元對應於1，11角對應於0.1，這也給了學生一個“換”的基礎。小數除法的算理與整數除法的算理相同，由於學生在學習整數除法遇到個位不夠分時，是當成餘數來處理的，現在卻要認爲這種餘數還可以繼續分，這對於學生來說，就是一個認識的衝突和挑戰。如何才能讓學生打通整數除法和小數除法的算理？這就需要藉助直觀模型，通過分一分、擺一擺的過程來理解。之後學生的分，與豎式的溝通，更清晰的在學生的頭腦中形成了除法豎式的表象。
三，問題解決模式下，積累活動經驗。作爲突破整數計數單位參與運算的第一次嘗試和探索，把學生推向生活實際問題，設計了以問題爲載體、以學生自主參與爲主的學習活動，可以說是尊重知識、尊重學生主體地位的做法，學生產生了真切的感悟，體驗了數學的應用，和便捷，積累了不可多得的活動經驗，豐富和發展了，邏輯思維。
