D. The Number of Pairs 数学

D. The Number of Pairs

题意

给你\(c, d, x\),求满足\(c \cdot lcm(a, b) - d \cdot gcd(a, b) = x\)的点对\((a, b)\)的个数。
有\(T\)组数据
\(T <= 10^4\), \(c, d, x <= 10^7\)

题解

为了表示简单一点，令\(l = lcm(a, b), g = gcd(a, b)\)
\(cl - dg = x\)
由一些常识，我们知道\(lcm(a, b) \cdot gcd(a, b) = a \cdot b\)
所以\(l = \frac{ab}{g}\)
\(\therefore \frac{cab}{g} - dg = x\)
因为\(g\)是\(gcd(a, b)\)，所以可设\(a = kg, b = tg\)
代回原式

\[cktg - dg = x \]

\[g = \frac{x}{ckt - d} \]

因为\(g\)是整数，所以\(ckt - d\)为\(x\)的因子
所以我们枚举\(i = ckt - d\)
易知对于一个已知的\(g\)而言，\((k, t)\) 与 \((a, b)\)是一一对应的关系
所以我们要统计\((a, b)\)相当于统计\((k, t)\)
又因为\(gcd(a, b)\)是最大公约数，所以\(k, t\)必互质，否则就可以将\(gcd(k, t)\)加入\(gcd(a, b)\)使其变得更大

\[\because i = ckt - d \]

\[\therefore kt = \frac{i + d}{c} \]

当我们枚举\(i\)时，\(\frac{i + d}{c}\)为常量
所以我们就是对于一个常量找互质的数对\((k, t)\)使其满足数对乘积等于这个常量
相当于对这个常量质因数分解，把分解出来的质因数分成两份，找合法的分配方案数
设\(\frac{i + d}{c} = \prod_{j<=m}{p_j^{f_j}}\), \(m\)为\(\frac{i + d}{c}\)的质因数种数，\(f_j\)表示\(p_j\)这个质因数有\(f_j\)个
那么因为分出来的两部分互质，所以对于一个质因数\(p_j\)要么全给\(k\)要么全给\(t\)、
所以由一些数学常识（对于每个质因数要么选要么不选），我们可以知道，方案数为\(2^m\)
所以\((k, t)\)的对数就是\(\sum_{i | k}{2^{m(i)}}\)
对于每组询问，我们暴力枚举\(x\)的因子\(i\), 对于每个\(i\)，我们找出\(\frac{i + d}{c}\)对应的质因数种数\(m(i)\)
统计一下\(\sum{2^{m(i)}}\)就是答案

\(m(i)\)可以欧拉筛预处理一下搞搞，
复杂度\(O(N + T \cdot \sqrt{N})\)

代码…………
还没写……鸽王天天鸽