前段時間看到趙玉平老師講的關於相親選擇的問題，感覺比較有趣，希望通過概率模擬驗證一下該方法的有效性。
原鏈接如下，感興趣可先了解原講解：管理學博士是怎麼硬核相親的，過程太真實了，最後居然選到這麼好的“對象”！強烈建議大家學學…… %相親 https://v.douyin.com/RWQQnC4/
1.問題重述
1.1原問題描述
各位同學是我的媒人，每位同學爲趙老師介紹一個男朋友，寫下一個數字代表該男生的質量。每次見一個人，單方向不可重複。如決定要則結束，如決定不要則繼續。
總結方法：先選4位同學（共12人）進行詢問，記住其中的最大值，然後再從其他同學中詢問，當得到大於前面所述最大值，則決定要。
1.2數學模型
現將原問題抽象爲以下數學過程
- 隨機生成n個數字；
- 將n個數字依次輸入模型中，當決定選擇其中某一個數字時（記爲第k個，k<n）過程停止；
- 目標是使選出的數字儘可能大，儘可能在n個數字中排在前列。
策略是：
- 記n個數字的前a（a<n，a/n=r）箇中的最大值爲m；
- 從第a+1個數字開始，若小於等於第a個數則捨棄，若大於第a個數字則選擇；
- 若直到最後一個數仍未出現大於第a個數的，則選擇最後一個數。
該過程中存在這樣一個問題：即這n個隨機數服從什麼分佈。先假設其服從0到100之間的均分分佈。
2.過程實現
設n=100，a=33，模擬如下。
import numpy as np
class choose:
def __init__(self,nums):
# nums代表提供的數字集
self.nums = nums
self.n=len(nums)
def get_max(self,a):
# 從前a個數中選出一個最大的，記爲max_num
self.a = a
self.max_num = max(self.nums[0:a])
def decide(self):
self.flag = 0
for i in range(self.a,self.n):
# 如果遇到更大的數則選取
if self.nums[i]>self.max_num:
self.choice = self.nums[i]
self.flag = i
# 如全程未遇到更大的數則只能選擇最後一個
if self.flag == 0:
self.choice = self.nums[self.n-1]
def show(self):
print('共有%d個數字，其中的最大值是%f，選擇的數字是%f，排第%d位' %
(self.n, max(self.nums), self.choice, sum(c.nums>c.choice)+1))
if self.flag == 0:
print('在後續數字中未找到更大的，故最終在所有數字中選擇了最後一個')
else:
print('選擇了第%d個數字' % (self.flag+1))
n=100
a=33
nums=np.random.uniform(0, 100, size=n)
c=choose(nums)
c.get_max(a)
c.decide()
c.show()
模擬幾次，結果如下：
共有100個數字，其中的最大值是96.647844，選擇的數字是96.647844，排第1位 選擇了第64個數字
共有100個數字，其中的最大值是99.571219，選擇的數字是65.277241，排第31位 在後續數字中未找到更大的，故最終在所有數字中選擇了最後一個
共有100個數字，其中的最大值是97.931539，選擇的數字是41.759912，排第50位 在後續數字中未找到更大的，故最終在所有數字中選擇了最後一個
共有100個數字，其中的最大值是99.566610，選擇的數字是99.566610，排第1位 選擇了第73個數字
共有100個數字，其中的最大值是98.271705，選擇的數字是98.271705，排第1位 選擇了第82個數字
可以發現，在5次模擬中有3次選到了全局最大，效果不錯，但也有兩次在後續數字中未找到更大的。
直接進行100000次模擬，觀察情況：
choices = []
rank = []
fail = 0
for i in range(0,100000):
if i%1000==0:
print(i)
nums=np.random.uniform(0, 100, size=n)
c=choose(nums)
c.get_max(a)
c.decide()
choices.append(c.choice)
rank.append(sum(c.nums>c.choice)+1)
if c.flag == 0:
fail += 1
觀察選出的數字的分佈：
import matplotlib.pyplot as plt plt.hist(choices,100)
可以看到，大部分落在90~100之間，落在99~100之間的概率爲0.28，效果較好，平均值np.mean(choices)=82.01201051783117。
觀察選出的數字在原100個數字中的位次的分佈：
plt.hist(rank,100)
可以看到，大部分位次落在0~10之間，選到最大值（排第1位）的概率爲0.37。平均值np.mean(rank)=18.16273，平均相對位次0.18。
3.敏感性分析
當參數發生變化時，該方法是否仍能有較好的效果。
3.1小樣本
現實情況中我們的精力有限，往往沒有那麼多的選擇機會，那麼，當n減少時（a/n=r近似不變），會發生什麼。
n=50，a=17。進行100000次模擬，平均位次10.10，平均相對位次0.20。
n=10，a=3。進行100000次模擬，平均位次3.03，平均相對位次0.30。
n=5，a=2。進行100000次模擬，平均位次2.2，平均相對位次0.44。
隨着n的減小，能夠取得的平均相對位次的變化情況如下圖。
可見隨着n的減小，該方法的效果變差，但由於樣本少，該現象情有可原。
3.2策略值r
保持n=100不變，觀察r的變化對結果的影響，對r從0.1到0.9取9個值，每個值模擬10000次。
n=100
rs=np.linspace(0.1, 0.9, 9)
m_choices=[]
m_rank=[]
m_fail=[]
for r in rs:
print(r)
a=int(round(n*r))
choices = []
rank = []
fail = 0
for i in range(0,10000):
nums=np.random.uniform(0, 100, size=n)
c=choose(nums)
c.get_max(a)
c.decide()
choices.append(c.choice)
rank.append(sum(c.nums>c.choice)+1)
if c.flag == 0:
fail += 1
m_choices.append(np.mean(choices))
m_rank.append(np.mean(rank))
m_fail.append(fail)
r對選擇結果的影響：
plt.plot(rs,m_choices)
plt.plot(rs,m_fail)
當r較大時，很容易在後續數字中找不到更大的，從而獲得較差的最終選擇。
n=10，觀察r的變化對結果的影響，對r從0.1到0.9取9個值，每個值模擬10000次。
plt.plot(rs,m_choices)
plt.plot(rs,m_fail)
當n較小時，雖然隨着r的增大，在後續數字中找不到更大的數字的概率也是近乎線性增大，但是如果a太小則選不到較大的閾值，因此r在0.1到0.9之間存在最優解。
這啓示我們，當基數n較大時，r的取值可適當減小，以便獲得更優的結果。
4.進一步討論
可以看到，對於該方法，當在後續數字中找不到更大的數字時，只能被迫選擇最後一個數字，導致結果較差。一個後續改進的思路是，當在一段時間內（第a個數字後的一些數字中）未發現更好的時，應適當降低要求。
對於不同的n，存在不同r的最優取值，n越大，r的最優取值越小。
如果原數據服從其他分佈規律，如卡方分佈，F分佈等，則結果可能有不同的表現，可能需要根據不同的分佈採取不同的策略。
實際上，迴歸相親問題，現實情況遠比該數學問題複雜的多，首先每個人有自己的特點，不能被很好地量化打分，即使打分也是各方面表現有不同的分數，其次，n是不可控的，且人的思維都是不斷髮展變化的，挑選者不可能一成不變地遵循一個死板的策略，被挑選者也不一定在被挑選後即接受。最後，且行且珍惜。