一、功能
用快速傅里葉變換計算兩個有限長序列的快速卷積。
二、方法簡介
設序列$x(n)$的長度爲$M$，序列$y(n)$的長度爲$N$，序列$x(n)$與$y(n)$的線性卷積定義爲 $$ z(n)=\sum_{i=0}^{M-1}x(i)y(n-i) \ , \ n=0,1,...,M+N-2 $$ 用快速傅里葉變換計算線性卷積的算法如下
1、選擇$L$滿足下述條件 $$ \left{\begin{matrix}\begin{align*}L &\geqslant M + N - 1\ L &= 2^{\gamma }, \ \gamma \ is \ a \ positive \ integer\end{align*}\end{matrix}\right. $$ 2、將序列$x(n)$與$y(n)$按如下方式補零，形成長爲$L = 2^{\gamma }$的序列 $$ \begin{matrix}x(n)=\left{\begin{matrix}\begin{align*}x(n) &, n=0,1,...,M-1 \ 0 &, n=M,M+1,...,L-1\end{align*}\end{matrix}\right.\ \end{matrix} $$
$$ \begin{matrix}y(n)=\left{\begin{matrix}\begin{align*}y(n) &, n=0,1,...,N-1 \ 0 &, n=N,N+1,...,L-1\end{align*}\end{matrix}\right.\ \end{matrix} $$
3、用FFT算法分別計算$x(n)$與$y(n)$的離散傅里葉變換$X(k)$與$Y(k)$ $$ \begin{matrix}X(k)=\sum_{n=0}^{L-1}x(n)e^{-j2\pi nk/L}\ Y(k)=\sum_{n=0}^{L-1}y(n)e^{-j2\pi nk/L}\end{matrix} $$ 4、計算$X(k)$與$Y(k)$的乘積 $$ Z(k)=X(k)Y(K) $$ 5、用FFT算法計算$Z(k)$的離散傅里葉反變換，得到卷積$z(n)$ $$ z(n)=\frac{1}{L}\sum_{k=0}^{L-1}Z(k)e^{j2\pi nk/L}, \ n=0,1,...,L-1 $$ 序列$z(n)$的前$M+N-1$點的值就是序列$x(n)$與$y(n)$的線性卷積。
三、使用說明
快速卷積的C語言實現方式如下
/************************************
x ----雙精度一維數組，長度爲len。開始時存放實序列x(i)，最後存放線性卷積的值。
y ----雙精度一維數組，長度爲n。開始時存放實序列y(i)。
m ----數據長度，序列x(i)的長度。
n ----數據長度，序列y(i)的長度。
len ----線性卷積長度，len≥m+n-1，且必須是2的整數次冪，即len=2^gamma。
************************************/
#include "rfft.c"
#include "irfft.c"
void convol(double *x, double *y, int m, int n, int len)
{
int i, len2;
double t;
for(i = m; i < len; i++)
x[i] = 0.0;
for(i = n; i < len; i++)
y[i] = 0.0;
rfft(x, len);
irfft(y, len);
len2 = len / 2;
x[0] = x[0] * y[0];
x[len2] = x[len2] * y[len2];
for( i = 1; i < len2; i++){
t = x[i] * y[i] - x[len - 1] * y[len - 1];
x[len - i] = x[i] * y[len - i] + x[len - i] * y[i];
x[i] = t;
}
irfft(x, len);
}
其中rfft.c文件請參考實序列快速傅里葉變換（一）
irfft.c在rfft.c的基礎上添加係數長度的倒數。