劍指offer-禮物的最大價值 (dp)

在一個 m*n 的棋盤的每一格都放有一個禮物，每個禮物都有一定的價值（價值大於 0）。你可以從棋盤的左上角開始拿格子裏的禮物，並每次向右或者向下移動一格、直到到達棋盤的右下角。給定一個棋盤及其上面的禮物的價值，請計算你最多能拿到多少價值的禮物？

示例 1:

輸入:
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
輸出: 12
解釋: 路徑 1→3→5→2→1 可以拿到最多價值的禮物

提示：

0 < grid.length <= 200
0 < grid[0].length <= 200

來源：力扣（LeetCode）
鏈接：https://leetcode-cn.com/problems/li-wu-de-zui-da-jie-zhi-lcof

解析：
動態規劃
dp[i][j]：走到i,j位置的最大價值是多少
其實只要兩個方向可以走到i,j位置，那就是在i-1,j位置向下走一行，或者在i，j-1位置向右走一列
可以發現要走到i,j的位置，dp[i][j]依賴上述兩個位置，那麼取上述兩個位置中的最大值然後加上當前i,j位置的值即可
所以我們可以得到狀態轉移方程
i0 情況 dp[i][j]=dp[i][j-1]+grid[i][j]
j0 情況 dp[i][j]=dp[i-1][j]+grid[i][j]
i!=0 && j!=0 情況 dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i][j]
此時時間複雜度爲O(N*M)
但空間複雜度還可以優化一下，每次計算都只依賴與之前計算過的dp值或當前位置原有的值(grid[i][j])
那麼我們可以用grid數組來充當dp數組，這樣空間複雜度可以簡化到O(1)

var dp[205][205]int
func maxValue(grid [][]int) int {
	n:=len(grid)
	m:=len(grid[0])

	for i:=0;i<n;i++{
		for j:=0;j<m;j++{
			dp[i][j]=0
		}
	}

	dp[0][0]=grid[0][0]
	for i:=0;i<n;i++{
		for j:=0;j<m;j++{
			if i==0&&j==0{
				continue
			}else if i==0{
				dp[i][j]=dp[i][j-1]+grid[i][j]
			}else if j==0{
				dp[i][j]=dp[i-1][j]+grid[i][j]
			}else {
				dp[i][j]= int(math.Max(float64(dp[i-1][j]), float64(dp[i][j-1])))+grid[i][j]
			}
		}
	}
	return dp[n-1][m-1]
}

func maxValue(grid [][]int) int {
	n:=len(grid)
	m:=len(grid[0])

	for i:=0;i<n;i++{
		for j:=0;j<m;j++{
			if i==0&&j==0{
				continue
			}else if i==0{
				grid[i][j]=grid[i][j-1]+grid[i][j]
			}else if j==0{
				grid[i][j]=grid[i-1][j]+grid[i][j]
			}else {
				grid[i][j]= int(math.Max(float64(grid[i-1][j]), float64(grid[i][j-1])))+grid[i][j]
			}
		}
	}
	return grid[n-1][m-1]
}