矩陣
概念
矩陣是高等代數學中的常見工具，也常見於統計分析等應用數學學科中。 在物理學中，矩陣於電路學、力學、光學和量子物理中都有應用；計算機科學中，三維動畫製作也需要用到矩陣。 矩陣的運算是數值分析領域的重要問題。將矩陣分解爲簡單矩陣的組合可以在理論和實際應用上簡化矩陣的運算。對一些應用廣泛而形式特殊的矩陣，例如稀疏矩陣和準對角矩陣，有特定的快速運算算法。關於矩陣相關理論的發展和應用，請參考《矩陣理論》。在天體物理、量子力學等領域，也會出現無窮維的矩陣，是矩陣的一種推廣。
\[A=\left\{\begin{matrix} a & b & c & d & e\\ f & g & h & i & j \\ k & l & m & n & o \\ p & q & r & s & t \end{matrix} \right\}
\]
類似於上面這種數表稱爲矩陣。A = m(行)*n(列) 矩陣
特別矩陣
- 只有一行的矩陣 （行向量）
\[B=\left\{\begin{matrix} 1 & 2 & 3\end{matrix} \right\}
\]
矩陣B被稱作 3維行向量
- 只有一列的矩陣（列向量）
\[C=\left\{\begin{matrix} 1 \\2 \\3 \\4\end{matrix} \right\}
\]
矩陣C被稱作4維列向量
上述 A 可以將每一行作爲一個行向量，每一列作爲一個列向量，表示如下:
\[D=\left\{\begin{matrix} a1 \\a2 \\a3 \\a4\end{matrix} \right\}
\]
\[E=\left\{\begin{matrix} b1 & b2 & b3 & b4 & b5\end{matrix} \right\}
\]
此時 Di 表示i維行向量 , Ei 表示i維列向量
\[A = (a{_{ij}}){_{m*n}} \\表示 m行n列的矩陣第i行j列的位置。
\]
矩陣運算
加減法
\[(A{_{m*n}}) +- (B{_{m*n}})
\]
只有同型的矩陣才能相加
\[A+-B = (A{_{ij}} +- B{_{ij}}){_{mn}}
\]
數乘
\[\lambda A{_{m*n}} = (\lambda a{_{ij}}){_{m*n}} = \left\{\begin{matrix} \lambda a{_{11}} & \lambda a{_{12}}& \lambda a{_{13}} \\\lambda a{_{21}} & \lambda a{_{22}}& \lambda a{_{23}} \\\end{matrix} \right\}
\]
\[\lambda 可以是負數
\]
矩陣乘法
\[\lambda A{_{m*n}} * B{_{n*k}} = C{_{m*k}} = (C_{ij}){_{m*n}}
\]
左矩陣列數=右矩陣行數才能進行乘法運算
A的第i行點乘B的第j列的和爲C
eg
\[(\left\{\begin{matrix} 1 & 2 \\3 & 4\end{matrix} \right\}{_{2*2}})* (\left\{\begin{matrix} 3 & 2 & 4 \\1 & 5 & 7 \end{matrix} \right\}{_{2*3}}) = \left\{\begin{matrix} 1*3+2*1 & 1*2+2*5 & 1*4+2*7 \\3*3+4*1 & 3*2+4*5 & 3*4+4*7 \end{matrix} \right\} {_{2*3}}
\]
E 單位矩陣
E 類似於下
\[E = \left\{\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{matrix} \right\}
\]
A*B = 0 並不能推出A=0 或者B=0
(A*B*C) = (A*B)*C = A*(B*C) 有結合律
A*B != B*A 無交換律
轉置矩陣
矩陣的所有行變成對應的列 記爲
\[A{^T} 或者 A{^|}
\]
運算
\[(A{^T}){^T} = A \\(kA){^T} = kA{^T}\\(A+B){^T} = A{^T} + B{^T} \\(A*B){^T} = B{^T} * A{^T} \\若 A{^T} = A, A 爲對稱矩陣
\]
方正的行列式
方正被記作如下：
\[A{_{n*n}} = |A| 或 del(A)
\]
運算
\[|A{^T}| = |A|\\|\lambda A{_n}| = \lambda{^n} *|A| \\|A*B| = |A|*|B|\\|A{^k}| = |A|{^k}
\]
伴隨矩陣
矩陣的每一項均爲該矩陣的代數餘子式
eg
\[A=\left\{\begin{matrix} a & b \\c & d\end{matrix} \right\}\\A{^*} = \left\{\begin{matrix} d & -b \\-c & a\end{matrix} \right\} \\A{^*}計算方式:\\A{_{11}} = (-1){^{1+1}} * d = d \\A{_{12}} = (-1){^{1+2}} * c = -c \\ A{_{21}} = (-1){^{1+2}} * b = -b \\A{_{22}} = (-1){^{2+2}} * a = a
\]
記住特殊的二階矩陣的伴隨矩陣：
主對互換，次變相反
性質
\[A*A{^*} = \left\{\begin{matrix} |A| & 0 & 0\\0 & |A| & 0\\0 & 0 & |A|\end{matrix} \right\} = |A| * E = A{^*} * A = A*A{^*}
\]
逆矩陣
若AB = BA A,B 稱爲互逆矩陣
\[A{^{-1}} = B \\B{^{-1}}=A
\]
只有方正矩陣纔有
1/A 這種寫法是錯誤的 ，但是|A|!=0 可以這麼寫
逆矩陣是唯一的
性質
\[1. A 可逆 <=> |A|!=0 \\2. (A{^{-1}}){^{-1}} = A , |A * A{^{-1}}| = |A|*|A{^{-1}}| = |E| = 1 \\3. A*A{^*} = |A|*E
\]
特殊
\[\left\{\begin{matrix} a{_1} & 0 & 0\\0 & a{_2} & 0\\0 & 0 & a{_3}\end{matrix} \right\} {^{-1}} =\left\{\begin{matrix} \frac{1}{a{_1}}& 0 & 0\\0 & \frac{1}{a{_2}} & 0\\0 & 0 & \frac{1}{a{_3}}\end{matrix} \right\} \\\left\{\begin{matrix} 0 & 0 & a{_1}\\0 & a{_2} & 0\\a{_3} & 0 & 0\end{matrix} \right\} {^{-1}} =\left\{\begin{matrix} 0 & 0 & \frac{1}{a{_3}}\\0 & \frac{1}{a{_2}} & 0\\\frac{1}{a{_1}} & 0 & 0\end{matrix} \right\} \\\left\{\begin{matrix} a & b \\c & d\end{matrix} \right\} {^{-1}} = \frac{A{^*}}{|A|}=\frac{1}{(ad-bc)}*\left\{\begin{matrix} d & -b \\-c & a\end{matrix} \right\}
\]
分塊對角矩陣
若干橫豎把A 分成小矩陣
\[\left\{\begin{matrix} A{_n} & 0 \\0 & B{_m} \end{matrix} \right\} = |A{_n}| * |B{_m}|\\\left\{\begin{matrix} A & 0 \\0 & B \end{matrix} \right\} {^k} = \left\{\begin{matrix} A{^k} & 0 \\0 & B{^k} \end{matrix} \right\}\\\left\{\begin{matrix} A & 0 \\0 & B\end{matrix} \right\}{^{-1}} = \left\{\begin{matrix} A{^{-1}} & 0 \\0 & B{^{-1}} \end{matrix} \right\}\\\left\{\begin{matrix} 0 & A \\B & 0\end{matrix} \right\}{^{-1}} = \left\{\begin{matrix} 0 & B{^{-1}} \\A{^{-1}} & 0\end{matrix} \right\}\\
\]
eg
\[\left\{\begin{matrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\\end{matrix} \right\} {^{-1}}\\可以拆分爲：\\\left\{\begin{array} {c|cc} 3 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\\end{array} \right\}{^{-1}} =\left\{\begin{matrix} \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\\end{matrix} \right\} \\
\]