排列组合
\[{n \choose m} = \frac{n!}{(n-m)!m!}
\]
\[A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}
\]
\[C_n^m=\frac{A_n^m}{A_m^m}=\frac{n!}{(n-m)!m!}
\]
恒等式
(1) \(C_n^m=C_n^{n-m}\)
从\(n\)个元素选择\(m\)个，等价于\(n\)个元素中不选\(n-m\)个。
(2) \(A_n^m+mA_n^{m-1}=A_{n+1}^m\)
在\(n+1\)个元素中选择\(m\)个元素排成一排，等价于考虑第\(n+1\)个元素：
- 不在该排列中：\(A_n^m\)
- 存在该排列中：\(mA_n^{m-1}\)，\(m\)表示该元素有\(m\)种放置位置。
(3) \(C_n^{m-1}+C_n^{m}=C_{n+1}^m \ or \ C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^m=C_n^m\)
在\(n+1\)个元素中选出\(m\)个元素，等价于考虑第\(n+1\)个元素：
- 不在该组合中：\(C_n^m\)
- 存在该组合中：\(C_n^{m-1}\)
(3*) \(C_m^m+C_{m+1}^m+C_{m+2}^m+\cdots+C_{n-1}^m+C_n^m=C_{n+1}^{m+1}\)
可由式\((3)\)推导而出。
\(C_{m+1}^{m+1}=1=C_{m}^{m}\)
\(C_{m}^{m}+C_{m+1}^{m}=C_{m+1}^{m+1}+C_{m+1}^m=C_{m+2}^{m+1}\)
\(C_{m+2}^{m+1}+C_{m+2}^m=C_{m+3}^{m+1}\)
\(\cdots\)
\(C_{n}^{m+1}+C_n^m=C_{n+1}^{m+1}\)
得证。
事实上式\((3)\)可以认为是在杨辉三角上的递推。所以该式也可以由杨辉三角进行理解（如图）。
事实上很多恒等式都可以直接利用杨辉三角进行（眼睛上的）理解推导（）
(4) \(C_n^{m-1}+2C_n^m+C_n^{m+1}=C_{n+2}^{m+1}\)
从\(n+2\)个元素中选出\(m+1\)个元素，考虑第\(n+1\)个元素和第\(n+2\)个元素：
- 两元素都不在该组合中：\(C_n^{m+1}\)
- 两元素都在该组合中：\(C_n^{m-1}\)
- 两元素有一个在该组合中：\(2C_n^m\)
(5) \(C_a^b \times C_b^c=C_a^c \times C_{a-c}^{b-c}=C_a^c \times C_{a-c}^{a-b}\)
考虑在集合\(A'\)，\(|A'|=a\)中，求构造集合\(C' \subseteq B' \subseteq A'\)，\(|C'|=c,|B'|=b\)的方案数。
- 先从\(A'\)中\(a\)个元素中取出\(b\)个元素放入\(B'\)，再从\(B'\)中取出\(c\)个元素放入\(C'\)：\(C_a^b \times C_b^c\)
- 先从\(A'\)中\(a\)个元素中取出\(c\)个元素放入\(C'\)（当然同时也放进了\(B '\)），再从剩下的\(a-c\)个元素中取出\(b-c\)个元素放入\(\complement_{B'}C'\)中：\(C_a^c \times C_{a-c}^{b-c}\)
(6) \(C_n^0C_m^a+C_n^1C_m^{a-1}+\cdots+C_n^{a-1}C_m^1+C_n^aC_m^0=\sum_{i=0}^{a}C_n^iC_m^{a-i}=C_{n+m}^a\)
在\(n+m\)个元素中选出\(a\)个元素：
- 前\(n\)个元素中选择了\(i\)个元素，后\(m\)个元素中选择了\(a-i\)个元素：\(C_n^iC_m^{a-i}\)
特别地，当\(m=n\)时：