感謝 \(\text{tidongCrazy}\) 傾情授課。
基本形式
把遞推需要用到的項全部存進矩陣裏面，固定的係數則放在轉移矩陣裏面。最後的那個\(g\)，其實可以認爲是另外一個（或者多個）遞推數列，它涉及了\(f\)的轉移，於是一起放在矩陣裏面，並且它也實時轉移更新着。
比如轉移項裏面可以有\(3^n\)，\(n\)。\(3^n\)到\(3^{n+1}\)的轉移只需要帶個係數\(3\)，而\(n\)到\(n+1\)的轉移，我們需要多帶一列\(1\)。
基礎習題
最簡單的一維多階遞推。
P1962 斐波那契數列（例題）
P4838 P哥破解密碼（矩陣加速）
稍微up
P1397 [NOI2013] 矩陣遊戲（矩陣加速）
處理每一行遞推到最後的矩陣，加一個從這一行末尾遞推到下一行第一個位置的矩陣，對這個組合快速冪。
P3216 [HNOI2011]數學作業（矩陣加速）
發現這個\(T(i)\)不好處理，看看\(n\)才\(10^{18}\)，直接跑\(18\)個不同的矩陣。
圖論\(\times\)矩陣
大致做法是這樣的。在一個圖裏面跑，題目涉及的路徑長度非常大的時候適用。
由\(t-1\)階的答案擴展到\(t\)階的答案，需要多擴展一條邊。設\(f^t_{i,j}\)表示\(i->j\)，走\(t\)步的方案數。則
跟矩乘的形式相符，可以以\(1\)階矩陣爲轉移矩陣爆加速。
另一個理解則是，這個\(1\)階的\(01\)矩陣是該圖的鄰接矩陣，當\(k->j\)有連邊時，就能爲\(f^{t}_{i,j}\)貢獻\(f^{t-1}_{i,k}\)的方案數。
P2233 [HNOI2002]公交車路線（圖論與矩陣結合）
P2151 [SDOI2009] HH去散步（有限制的路徑計數）
這個限制的做法是，把一條邊拆成兩個點（表示雙向的邊）。做完了（
P4159 [SCOI2009] 迷路（圖論中鄰接矩陣的巧妙轉化）
這個邊權最多隻有\(9\)，那我們存儲相鄰\(9\)階的信息到一個矩陣裏。
...........等一下，這樣能做麼...
題解給的方法是把一條邊暴拆成雙向各九個，沒了（
分組矩陣
矩陣變化的週期很小，把週期內的每個矩陣處理出來，合在一起快速冪就行了。
P2579 [ZJOI2005]沼澤鱷魚（分組矩陣優化）
P3821 Isaac（分組矩陣優化）
相比上一題加個二分就好啦。
矩陣乘法變形
P5678 [GZOI2017]河神（矩陣乘法變形）
這倆運算符性質很好，看看下面矩陣乘法結合律的證明吧。
注意與運算的單位是\(111111111\)（
CF576D Flights for Regular Customers（矩陣乘法優化）
按\(d_i\)排序，每次跑到下一個\(d_i\)就加邊改矩陣。
由於只需要可行性，可以改成\(01\)，位運算，然後bitset壓一下。
怎麼還有題需要bitset卡個64的
P6569 [NOI Online #3 提高組] 魔法值（矩陣乘法變形+優化）
關於矩陣乘法結合律的證明（sun123zxy）
與和或運算顯然是滿足的。
然後就是這題奇怪的優化，像我這種從來把\(log\)當作不存在的人就已經寄了。
光速冪
雜記
還可以做類似一個結構體內，一些變量相互加減之類變化的運算。
D - Binary Representations and Queries
第一步結論我甚至暫時不會證。
後一步則是讓兩個元素一一對應的集合（其實就是一對一對的），每次讓一邊元素加上另一邊與之對應元素的值。
這個只是矩陣乘法，而不是矩陣加速（
P7453 [THUSCH2017] 大魔法師
又想提一嘴矩陣的運算律，我一直沒搞得比較清楚。
矩陣運算律
矩陣線性運算
(1) 矩陣加法
交換律：\(A+B=B+A\)
結合律：\((A+B)+C=A+(B+C)\)
(2) 矩陣數乘
結合律：\(\lambda\mu A=\lambda(\mu A)\)
分配率 \(1\)：\(\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B\)
分配率 \(2\)：\((\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A\)
矩陣乘法
結合律 \(1\)：\((AB)C=A(BC)\)
結合律 \(2\)：\(\lambda (AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)\)
分配率：\(A(B+C)=AB+AC\)，\((B+C)A=BA+CA\)
這題是在線段樹上做區間乘矩陣，區間覆蓋，區間加，區間乘。後三個運算分別對矩陣不同對象。
滿足了上述一系列優秀的性質，來考慮怎麼打 \(tag\)。
迴歸最一般的線段樹區間乘與區間加。
比如標記 該節點需要先 \(\times a\) 再 \(+b\)，子節點已有的標記是需要先 \(\times c\) 再 \(+d\)，那麼子節點：
那麼子節點的 \(c\) 就該變成 \(c\times a\)， \(d\) 變成 \(d\times a+b\)。
類比標記打法：該節點需要 \(\times P\) 後分別 $\times v\ ,+k\ ,\ $覆蓋
一種方法是拆成乘與加矩陣（\(3\times 3\) 矩陣），另一種是全部拆成乘矩陣。後者（\(4\times 4\) 矩陣，加了一列常數項）應該是好寫很多的，但不知道會不會複雜度爆炸（
哦我草，\(5s\) 啊，那沒事了，我傻逼了，比上面那個還好寫（？）