221. 最大正方形
在一个由 '0' 和 '1' 组成的二维矩阵内，找到只包含 '1' 的最大正方形，并返回其面积。
示例 1：
输入：matrix = [["1","0","1","0","0"],["1","0","1","1","1"],["1","1","1","1","1"],["1","0","0","1","0"]]
输出：4
示例 2：
输入：matrix = [["0","1"],["1","0"]]
输出：1
示例 3：
输入：matrix = [["0"]]
输出：0
提示：
m == matrix.length
n == matrix[i].length
1 <= m, n <= 300
matrix[i][j] 为 '0' 或 '1'
来源：力扣（LeetCode）
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可以使用动态规划降低时间复杂度。我们用 \textit{dp}(i, j)dp(i,j) 表示以 (i, j)(i,j) 为右下角，且只包含 11 的正方形的边长最大值。如果我们能计算出所有 \textit{dp}(i, j)dp(i,j) 的值，那么其中的最大值即为矩阵中只包含 11 的正方形的边长最大值，其平方即为最大正方形的面积。
那么如何计算 \textit{dp}dp 中的每个元素值呢？对于每个位置 (i, j)(i,j)，检查在矩阵中该位置的值：
- 如果该位置的值是 00，则 \textit{dp}(i, j) = 0dp(i,j)=0，因为当前位置不可能在由 11 组成的正方形中；
- 如果该位置的值是 11，则 \textit{dp}(i, j)dp(i,j) 的值由其上方、左方和左上方的三个相邻位置的 \textit{dp}dp 值决定。具体而言，当前位置的元素值等于三个相邻位置的元素中的最小值加 11，状态转移方程如下：
dp(i,j)=min(dp(i−1,j),dp(i−1,j−1),dp(i,j−1))+1如果读者对这个状态转移方程感到不解，可以参考 1277. 统计全为 1 的正方形子矩阵的官方题解，其中给出了详细的证明。
此外，还需要考虑边界条件。如果 ii 和 jj 中至少有一个为 00，则以位置 (i, j)(i,j) 为右下角的最大正方形的边长只能是 11，因此 \textit{dp}(i, j) = 1dp(i,j)=1。
以下用一个例子具体说明。原始矩阵如下。
0 1 1 1 0
1 1 1 1 0
0 1 1 1 1
0 1 1 1 1
0 0 1 1 1
对应的 \textit{dp}dp 值如下。
0 1 1 1 0
1 1 2 2 0
0 1 2 3 1
0 1 2 3 2
0 0 1 2 3下图也给出了计算 \textit{dp}dp 值的过程。
代码实现：
class Solution {
public:
int maximalSquare(vector<vector<char>>& matrix)
{
int m = matrix.size(), n = matrix[0].size();
vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n));
int ans = 0;
for(int i = 0; i < m; ++i)
{
for(int j = 0; j < n; ++j)
{
if(matrix[i][j] == '0')
dp[i][j] = 0;
else if(i == 0 || j == 0)
dp[i][j] = 1;
else
dp[i][j] = min(min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]), dp[i-1][j-1]) + 1;
ans = max(ans, dp[i][j]);
}
}
return ans * ans;
}
};