開篇是一些扯淡，如果你想看的是那道題，直接往下翻到沒有圖片的地方就好（有兩條分界線的地方）
高產之後閱讀量下滑了（不如不更）
但是還是記錄一下生活（一些個流水賬）
上一篇博客沒多少人讀，可能是讀的比較粗也可能是發現了也懶得破譯也可能是沒破譯出來（應該不會吧 很簡單的）
不過結論是並沒有人對此做出什麼迴應（其實似乎也沒什麼可迴應的）
如果單看一個空行的話太容易被發現了，所以選擇直接接在最後一行後面
但是似乎大家對這種謎語人行爲並不感興趣，而且爲了防止以後大家點進我博客第一件事就是Ctrl+A，所以還是先不這麼玩了
然而按照DC的尿性，等到有什麼需要一點腦洞加密的東西可能還會再加密放出來
按照慣例轉發一些發在QQ空間的值得紀念的小事
終於到萌新線了
（雖然事實上在昨天我又推了一點到了11.54）
（仔細比對的話 發現有些歌真的半年沒破記錄了 如Vindication）
（骨折光prs快一年沒推了）
事實上是在仿寫半年前的說說（
（但是半年前說的卷可一點都沒有實現）
除了打遊戲以外，其實也在嘗試做一些有點意義的事情
（看着同齡人一個比一個現充，唉當代大學生就數我最失敗）
腦子不行那就上身體，也算是有點貢獻
（但有一說一針管怎麼那麼粗，我沒見過那麼粗的針管）
不過有一點後悔，早知道就在浙江獻了，似乎在浙江獻血可以有志願者小時數，但在河北就沒有
上個學期啥也沒幹，志願者小時數還保持着0呢
算了 來點有營養的東西
今天起牀，沒什麼事，打算學習
但是我打開了B站
然而B站也覺得我太頹了，所以給我推了學習的東西
感覺是可以做成交互題然後擴展到OI上的，而且大概還不算太簡單
考慮下面的問題：
(Easy version): $12$個硬幣，其中沒有假幣或有$1$個假幣， 假幣重量與其它的不同，但不確定是更重還是更輕。 天平稱量$3$次，確定是否有、哪個是假幣、假幣偏輕還是偏重（共25種情況）
(Hard version): 你必須在第一次稱量開始前就把三次稱量方案都確定，而不能根據上一次稱量的結果來決定下一次的方案
(???? version): 硬幣增加一個（$13$個硬幣,$27$種情況）
$Easy\ version$上來就說左$6$右$6$的回去重新看題，如果天平不平衡的話那你只排除了全都是真的的情況，由於不知道下一步沒法做了
最開始我在想$2^3=8$，跟$12$有什麼關係
然後很快就發現這個$2$是沒有來由的，天平有左傾 右傾 平衡$3$種狀態，那麼一共有$3^3=27$種可能
用來應對$25$種情況應該是足夠的，但也差不多滿了
每次稱量會分出$3$個分支，我們要儘量充分的運用每一個分支
那麼也就是說，要讓$25$種可能情況儘量均衡的分佈在$3$個子分支裏
我們先規定一下$25$種情況的表示方式，$A$表示全是真($All$)，$x+$表示$x$是假幣且比其餘硬幣重，$x-$反之
現在我們有$A,1+,2+,3+,4+,5+,6+,7+,8+,9+,10+,11+,12+,1-,2-,3-,4-,5-,6-,7-,8-,9-,10-,11-,12-$這些情況
如果想均衡的話，那你應該會想分成$8+8+9$
那麼由於對稱性，左右傾應該都對應$8$種情況，而平衡是$9$種情況
如果一個硬幣$x$不上秤的話，那麼$x+,x-$自然就都在平衡的情況裏（剩下的都是真的，怎麼稱怎麼平衡）
所以我們決定讓$4$個硬幣不上秤，那麼平衡就有$4+4+1（x+,x-,A) = 9$種情況了
爲了後續表達方便，我們就暫定讓$9,10,11,12$不上秤吧。剩下的均勻分，$1,2,3,4$在左側，$5,6,7,8$在右側
那麼結果以及所對應的情況如下：
B（平衡）：$9+,9-,10+,10-,11+,11-,12+,12-,A$
L（左傾）：$1+,2+,3+,4+,5-,6-,7-,8-$
R（右傾）：$1-,2-,3-,4-,5+,6+,7+,8+$
繼續分類討論：
$B:$
這樣的話其實就是$4$硬幣$2$機會的完全一樣的子問題。
類似的，一共$9$種情況，我們想讓它們被均分。
平衡對應$3$種，那麼應該是有一個沒上稱，假設是$12$吧
然後$3$個硬幣似乎沒辦法均勻放在左右邊，所以我們決定把$9,10,11$放在左邊，取用$1-8$號硬幣中的$3$個放在右邊
（我們已經確定它們都是真的，所以用它們來做“砝碼”）
$BB:12-,12+,A$
$BL:9+,10+,11+$
$BR:9-,10-,11-$
$BB:$
這就很簡單了，$12$要麼正常要麼輕要麼重，別的都正常
$12$放在左邊，$1-11$隨便拿一個放在右邊
$BBB:A$
$BBL:12+$
$BBR:12-$
$BL:$
這樣的話我們知道$9,10,11$中一定恰好有一個是重的
那麼隨便拿兩個上來，例如$9$在左$10$在右吧
$BLB:11+$
$BLL:9+$
$BLR:10+$
$BR:$ 與$BL$類似
$L:$
現在有$8$種情況，要麼是$1,2,3,4$中有一個重了，要麼是$5,6,7,8$中有一個輕了
$9-12$已經確定都是真的，可以當作砝碼使用
$8$種情況分給$3$個分支，那大概是$3+3+2$了
然後這一步其實有點難想。平衡是$2$的話那應該有兩個不上秤，假定是$4$和$8$吧
然後直觀的想法是把$1+,2+,3+$放一組，$5-,6-,7-$放一組，但發現很難構造對應的稱量方案
一種直觀的想法是把$1,2,3,5,6,7$放左邊，右邊放上$6$個標準的真幣。但是我們只有$4$個已經確定的真幣，所以不太可行
所以我們退而求其次吧，搞一個更加混亂的分組方法：$1,2,6,7$在左，$3,5,9,10$在右（其中$9,10$已經確定爲真幣）
$LB:4+,8-$
$LL:1+,2+,5-$
$LR:3+,6-,7-$
$LB:$拿$4$號直接跟真幣比對一下就好了。
$LL:1$和$2$比對一下誰重，誰重誰就假，平等那就是$6$號假
$LR:$與$LL$類似
$R:$與$L$類似
至此$Easy\ version$的所有情況就說明完了
$Easy\ version$的核心思想就是均分可能性（情況）
用$OI$的話來說，結點數固定且兒子數不超過$3$，那麼滿三叉樹中平衡的那一個深度最小
來說說$Hard\ version$
不管怎麼說，上述方法需要分類討論，且後一步對前一步有依賴
如果問題簡單的擴展到$4$次機會$39$個幣（是$3$的倍數且沒有滿），可解但是討論量非常非常大
這樣的方法人力消耗極大，而且也很難用計算機實現
把問題擴展到$OI$數據範圍，那直接玩完
所以我們要把問題抽象化，改成數學問題
我們考慮天平乾的是個什麼事：
假設每個硬幣的質量分別是$m_1,m_2,...,m_{12}$
那麼天平實際上是一個函數$f(int\ a[])$，其中參數$a[]$是操作數組
即$a[x]=1$說明硬幣$x$放在左側，$a[x]=-1$說明硬幣$x$放在右側，$a[x]=0$說明$x$不上秤
天平返回的是$sgn(\sum\limits_{i=1)^{12} a_i \times m_i$
$1$表示左傾，$-1$表示右傾，$0$表示平衡
天平的那個和式實際上類似於矩陣（向量）乘法
我們重寫每個硬幣的質量爲$m_i = m_0 + b_i$，其中$m_0$表示真幣質量，$b_i$表示偏差量
由於我們只在意$b_i$的正負（或$0$）而不在意大小，所以我們假設$b$只有$+1,-1,0$三種取值
構造矩陣$M =\begin{bmatrix} m_0 \\ m_0 \\ ...\\ m_0 \end{bmatrix} , B =\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ ...\\ b_{12} \end{bmatrix}, A =\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & ...& a_{12} \end{bmatrix}$
我們發現一次稱量就是$A \times (M+B) = result$，$result$只有$1,-1,0$三種取值
由於我們有$3$次稱量，就有$3$個$A$向量。我們把它們並起來，得到一個新的$A$矩陣
$ A =\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ...& a_{1,12} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & ...& a_{2,12} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & ...& a_{3,12} \end{bmatrix} $
這樣的話結果也會是一個向量$R= \begin{bmatrix} result_1 \\ result_2 \\ result_3 \end{bmatrix}$
現在還是一個$A \times (M+B) = R$。其中$M$是一個所有元素都相等的列向量
如果我們假定$A$中每行的行和爲$0$，那麼等式就可以化簡爲$ A \times B = R$
（很好理解。放在原問題裏就是，如果天平左右側硬幣數量相等，那麼真幣有多重便不再產生影響）
現在我們的問題是，我們要構造一個$3 \times 12$的由$1,0,-1$構成的矩陣$A$
然後根據每一種返回的$R$，求出對應的$B$。
且$B$還滿足一個性質：要麼全是$0$，要麼恰有一個元素爲$1$或$-1$
進一步發現：由於$B$滿足這樣的性質，所以如果$B\neq 0$，那麼$R$一定等於$A$中的某一列，或者是負的某一列
如果$B = 0$那麼也就是說怎麼稱都相等，這樣的話也就是沒有假幣
如果$B = A_{*,x}$也就是等同於第$x$列，這樣的話就說明$b_x=1$也就是$x$是假幣且偏重
如果$B = -A_{*,x}$也就是等同於負的第$x$列，這樣的話就說明$b_x=-1$也就是$x$是假幣且偏輕
爲了使結果$R$與情況一一對應，我們需要保證$A$中的任意兩列不相等，任意兩列不互補
同時由於零向量被用去表示怎麼稱都相等的情況，所以$A$中的任意一列也不能是全零
同時當然受到題意限制，$A$中的每個元素必須是$0,1,-1$中的一個
還有上面爲了簡化問題規定的，$A$中每一行的行元素和爲$0$
隨便構造一個滿足這些條件的矩陣吧
$ A=\begin{bmatrix} -1& 1 & -1 &0 &0& -1&1&1&1&-1&0&0 \\ -1& -1 & 1&1&-1&0&0&1&-1&0&1&0 \\ 1& -1 & -1&1&1&-1&-1&0&0&0&0&1 \end{bmatrix} $
實際上只有$13$對可能的列向量（去掉全零$(27-1)/2$，每一對互補，也就是$A=-A'$），每一對裏選一個，有一對捨棄掉。
事實上你要捨棄的一對一定是三個元素都不爲$0$的四對之一
因爲你要求每行的和爲$0$。那麼也就是說絕對值的和一定要是偶數。這$13$對的絕對值和是$\begin{bmatrix} 9\\9\\9 \end{bmatrix} $
所以要去掉哪一個其實是有這樣的限制的
不管怎麼說，現在有一個能用的$A$了，然後就可以根據$R$向量來查找對應的結果了
很妙。我線性代數真有如白學
至於$????\ version$，首先我們先不考慮$Hard\ version$那個限制，也就是即使我們依然可以根據結果決定下一步決策
這樣的話，$13$個幣意味着情況全滿（$27$種）
而且硬幣總數不是$3$的倍數也不是$2$的倍數會帶來一些不便。例如說第一步分成$9,9,9$可能都相當困難
所以在$Easy\ version$的$L$情況中出現的混亂可能會更加的多
更進一步的話，第一次平衡需要$9$種情況，那就說明是$4+4+1$，有$4$個幣不上稱
剩下的$9$個幣都要上稱，那麼兩側幣的數量就不一致了，就很難繼續考慮了
這是建立在沒有額外提供真幣的情況下，如果給出了足量的真幣作爲砝碼，那上述問題會相當簡單
例如我如果有$9$個已知真幣，那麼左側放$1-9$右側放$9$個真幣就能把情況很整齊地劃分
同時如果是$Hard\ version$，我們用矩陣去構造
由於是$13$個幣，所以$13$對列向量我們都不能捨棄，那麼每一行和爲$0$的條件就不能被滿足
如果我們有已知的真幣的話，我們可以通過往幣數量少的一邊添加真幣來使得$m_0$的貢獻在兩側達到平衡
如果是$Easy\ version$的話，那麼給我$1$個真幣其實就夠了。我左側放$1-5$右側放$6-9$加一個真幣
那麼結果就分爲了$L:1+,2+,3+,4+,5+,6-,7-,8-,9-/R:1-,2-,3-,4-,5-,6+,7+,8+,9+$
同時$Hard\ version$添加一個幣也是沒問題的。按照原來的方案表示即可。
這就進一步引出了一堆問題：$13$個幣不添加真幣是否無解？$Hard\ version$呢？
我的大腦宕機了。我好菜
希望能有人給出解答$orz$