空間判斷點是否在線段上

1. 概述

判斷點是否在線段上的算法非常簡單，有很多種實現方式，總結一下我自己的實現。

2. 詳論

個人認爲通過向量計算的方式是比較好的，因爲可以保證在二維和三維的情況都成立。判斷空間中點P是否在線段P1P2上，算法思想是分成兩部分：

1. 計算\(\vec{P1P2}\)與\(\vec{P1P}\)的向量叉積，可以判斷是否存在一條直線上。原理是向量叉積的模（長度）表示兩個向量組成的平面四邊形的面積，如果叉積的模爲0，說明兩者共線，無法組成平行四邊形。
2. 計算向量點積，點積的幾何意義是一個向量向另外一個向量的投影；如果滿足如下公式，說明是在兩個端點之間：

\[0<{\vec{P1P}}\cdot{\vec{P1P2}}<{||\vec{P1P2}||}^2 \]

具體的代碼實現如下所示：

#include <Eigen/Eigen>
#include <iostream>

using namespace Eigen;
using namespace std;

using LineSegment = Vector2d[2];

const double epsilon = 0.000000001;

//判斷點在線段上
bool PointInLine(const Vector2d& point, const LineSegment& lineSegment) {
  Vector3d P1P2;
  P1P2 << lineSegment[1] - lineSegment[0], 0;
  Vector3d P1P;
  P1P << point - lineSegment[0], 0;

  if (fabs((P1P2.cross(P1P)).norm()) > epsilon) {
    return false;
  }

  double dotProduct = P1P2.dot(P1P);
  if (dotProduct > 0 && dotProduct < P1P2.squaredNorm()) {
    return true;
  }

  return false;
}

int main() {
  // LineSegment lineSegment;
  // lineSegment[0] = Vector2d(0, 0);
  // lineSegment[1] = Vector2d(50, 100);
  // Vector2d c(25, 50);
  // Vector2d d(0, 8);

  LineSegment lineSegment;
  lineSegment[0] = Vector2d(2.6, 1.5);
  lineSegment[1] = Vector2d(24.5, 80.6);
  Vector2d ld = lineSegment[1] - lineSegment[0];
  Vector2d c = lineSegment[0] + 0.46 * ld;
  Vector2d d(0, 8);

  cout << PointInLine(c, lineSegment) << endl;
  // cout << PointInLine(d, lineSegment) << endl;
}

說明一下代碼實現：

1. 使用了Eigen中的矢量類，其實自己使用其他庫的矢量類或者自己實現也是可以的。
2. 內置浮點型的精度有限，因此設置epsilon作爲容差。
3. 由於是使用向量計算，因而是可以拓展到三維空間中使用的。

3. 參考

1. 判斷點是否在線段上
2. How can you determine a point is between two other points on a line segment?