发表时间：2002（Machine Learning, 47, 235–256, 2002）
文章要点：这篇文章主要是分析了针对Multiarmed Bandit Problem的几个经典算法的收敛性。我们知道这类问题主要就是在解决exploration versus exploitation dilemma，他的regret至少是以动作次数的对数增长的，但是这个结论只是渐进性的，不够具体。作者就分析了四个具体算法的finite-time下的性质。
分析的第一个算法是经典的UCB1，这个算法动作的选择策略如上图，以\(\bar{x}_j+\sqrt{\frac{2\ln n}{n_j}}\)选择动作，其中\(\bar{x}_j\)是当前得到的arm \(j\)的平均reward，\(\sqrt{\frac{2\ln n}{n_j}}\)是一个和访问次数有关的项，用来控制exploration。得到的结论就是
这里
这个定理告诉了我们，对于做了n次动作后，当前的regret被bound在什么范围，这个结论可比渐进性强多了。
第二个算法是UCB2
之前UCB1里面有个\(8/\Delta^2_i\)，UCB2可以把这个数缩小到任意接近\(1/2\Delta^2_i\)。UCB2算法的流程是这样的，他控制exploration的项变成了
并且选定一个动作后，要执行\(\tau (r_j+1)-\tau (r_j)\)次，而不是一次。这里有个常数\(\alpha\)需要设置。得出的结论是
也是直接就告诉了我们regret的bound在哪。
第三个算法是\(\epsilon_n\)-greedy。我们知道如果是\(\epsilon\)-greedy的话，因为\(\epsilon\)永远不衰减，这个regret的增长速度是线性的，而如果我们用如下的方式来衰减的话，就可以控制在对数速度。
这里K就是K个arm，d和c是参数。得出的结论是
最后一个算法是UCB1-NORMAL，就是对arm的reward 做了一个正态分布的假设，选择动作的规则有部分变化
得出的结论是
总结：一篇很经典的对Multiarmed Bandit Problem做理论分析的文章，最开始发在ICML 1998，后面发在期刊Machine Learning，感觉可以从这篇开始入门一点理论分析了。证明在原论文里面写的很好，这里就不贴了。
疑问：其实不太懂这个bound到底算不算紧，但是这个结论肯定是非常牛皮的了。