一個新坑，先把真題都刷一下大概就知道會考什麼和難度怎麼樣了。
2013
向量內積
給定一個 \(n\) 個 \(m\) 維向量，求出一組不同的向量 \(p,q\) 使其內積（點乘）在模 \(k\) 意義下爲 \(0\)。
\(k=2,1\le n\le 2\times 10^4, 1\le m\le 100\) 或 \(k=3,1\le n\le 10^5, 1\le m\le 30.\)
*哈希，矩陣，模
神奇套路題。主要思想：隨機化哈希判斷相等。原理：哈希值相同是真的相同的必要條件。
把向量想象成一個 \(n\times m\) 的矩陣 \(A\)，題目等價於 \(AA^T\) 在非對角線上存在 \(0\) 值。先考慮 \(k=2\) 的情況，只需判斷是不是全是 \(1\) 即可。直接做是 \(n^2m\) 的，考慮再乘上一個 \(n\times 1\) 的列向量，可以優化到 \(O(nm)\)。這時只需判斷最後的結果是否相同，隨幾次可以認爲是對的。
\(k=3\) 時我們發現 \(1^2\equiv 2^2\equiv 3\pmod 3\)。於是我們把答案的矩陣每個數平方，對應到原來的矩陣即把向量 \(a_1,a_2,...,a_m\to a_1a_1,a_1a_2,...a_1a_m,a_2a_1,a_2a_2,...,a_2a_m,...a_ma_1,a_ma_2,...a_ma_m\)。所以可以 \(O(nm^2)\)。
矩陣遊戲
*數列，費馬小定理
先把單獨一行拿出來看，設 \(f_1\) 是這一行的第一個元素，有 \(f_i=f_{i-1}*a+b\)。所以 \(f_m=f_1a^{m-1}+\frac{a^{i-1}-1}{a-1}b\)。如果不會的可以再去補一下高中數學。
然後設 \(g_i\) 是第 \(i\) 行的 \(f_m\)，有 \(g_i=(g_{i-1}c+d)a^{m-1}+\frac{a^{i-1}-1}{a-1}b\)，然後換個元又變成上面的式子，搞一搞就出來了。
但是 \(n,m\) 太大怎麼搞？我們有一個費馬小定理，\(a^{p-1}=1\pmod p,a<p\)。然後就可以降到 \(p\) 以下了。
坑點：注意 \(a=1\) 時等比數列求和公式不存在，需要特判，而次時又需要模 \(p\) 的 \(n,m\)，所以 \(n,m\) 兩個都要模。
樹的計數
*概率期望，樹的遍歷
首先我們發現我們要求的就是樹的期望高度，然後根據期望的線性性我們可以把它分成幾層。
觀察到這個樹的編號是無所謂的，我們可以給bfs序重新編號成 \(1\) 到 \(n\)，同時改變dfs序，這樣不會有影響。
又發現bfs是按層來搞的，所以我們下一步就是分層，也就是把bfs劃分成幾個區間，每個區間在一層。
顯然這不可能是隨便分層，有一些限制。我們用一個數組來表示 \(i\) 和 \(i+1\) 直接有沒有分割，如果爲 \(0\) 即爲不確定。
1，\(1\) 和 \(2\) 之間一定有分隔。這很顯然。
2，假設 \(d_i\) 是 \(i\) 在dfs序中的位置。若 \(d_i>d_{i+1}\) 說明dfs的過程中先遍歷到 \(i+1\) 再遍歷到 \(i\)，而如果他們在同一層中則不可能（因爲是按順序排的），所以它們一定不在同一層中，答案加一。
3，還有這第三個限制，也是比較難想到的。假設 \(dfn_i\) 是dfs序，若 \(dfn_i+1<dfn_{i+1}\)，說明 \(dfn_{i+1}\) 的 深度最多比 \(dfn{i}\) 多1，所以 \(dfn_{i}\) 與 \(dfn_{i+1}\) 之間最多放一個分隔線，而枚舉幾種情況發現期間必有一條分隔線，所以這一段不得再有其他分隔線。
最後，如果還是可填可不填的答案就加0.5。
快餐店
*基環樹，dp
這是一道類似於基環樹直徑的題。顯然答案爲直徑除以2。
考慮暴力的做法，每次斷一條環上邊，然後找一下當前的直徑，再取一個最小值即可。
優化也很簡答，維護四個數組 \(h1,h2,g1,g2\) 分別代表到左端點（環上第一個點）前綴最大值，到右端點（也是環上第一個點（嘿嘿想不到吧，只不過饒了一圈））後綴最大值，以及前綴最大答案和後綴最大答案，不動的看一下圖就懂了。
然後我們枚舉斷邊\(i \rightarrow i+1\)，然後拿\(max(h1[i]+h2[i+1],max(g1[i],g2[i+1]))\)來更新答案，別忘了再和不在環上的鏈取最大。
書法家
*dp
從右往左，\(11\) 個 dp。注意細節就好。