組合計數選講
Candy Retribution
Source：Japanese Student Championship 2019 Qualification F
轉換爲求 \(\sum a_i\in [0,s]\) 的答案。
對於沒有第二類限制得情況，容易通過插板+上指標求和得到答案 \(\binom{n+s}{n}\)。
正難則反，考慮欽定 \(a_m\ne a_{m+1}\)，枚舉 \(a_m\) 的值 \(x\)。現在我們就是要求 \(\forall i\le m,a_i\ge x,\forall j>m,a_{j}<x,a_m=x\)，且和不超過 \(x\) 的方案數。首先先把最後一個條件容斥掉，記錄 \(f(x,y)\) 代表前 \(m\) 個數 \(\ge x\)，後 \(n-m\) 個數 \(< y\) 的方案數。那貢獻就是 \(f(x,x)-f(x+1,x)\)。
下面來計算 \(f(x,y)\)。前半部分容易插板得到，後半部分考慮容斥欽定 \(i\) 個位置 \(\ge y\)。於是有：
\[f(x,y)=\binom{n}{m}\sum_{i=0}^{n-m}(-1)^{i}\binom{n-m}{i}\binom{s-mx-iy+n}{n}
\]
枚舉這個 \(i\) 顯然是調和級數的，於是就做完了。
感覺這個題代碼也沒啥好寫的，所以它咕了。
Beautiful Bracket Sequence (hard version)
Source：Codeforces Contest 1264 D2