蒙哥马利模乘运算（Montgomery Modular Multiplication）[1]与蒙哥马利幂模运算（Montgomery power module）和蒙哥马利约减运算（Montgomery model reduction）统称蒙哥马利算法（Montgomery Algorithm）。
- 蒙哥马利模乘运算：\(ab mod N\)
- 蒙哥马利幂模运算：\(a^b mod N\)
- 蒙哥马利约减运算：\(ab^{-1} mod N\)
蒙哥马利模乘
模乘是计算\(ab\pmod{N}\)。在普通计算模N时，利用的是带余除法，除法运算需要太多次乘法，计算复杂度较高，「蒙哥马利模乘」的思想就是利用进制表示简化除法运算，转化成位运算。
- 蒙哥马利形式(Montgomery form, Montgomery domain)
为了计算\(ab\pmod{N}\)，需要找到一个\(R\)，然后使得\(\mathrm{a}^{\prime}\equiv\mathrm{aR}\pmod{\mathrm{N}},\mathrm{b}^{\prime}\equiv\mathrm{bR}\pmod{\mathrm{N}}\)。
这个\(R\)不是随便取的，需要满足两个条件：
- \(R = 2^k > N\) ，其中\(k\)是满足条件的最小正数，这就能保证除以\(R\)就相当于右移\(k\)位
- \(gcd(R,N)=1\)，这就可以求出\(m\)
在计算\(ab\pmod{N}\)时需要利用「蒙哥马利形式」。令\(X=a'b'\)，可以设计一个函数\(REDC(X)=XR^{-1}\pmod{N}\)，计算结果为\(X_1=REDC(X)=a'b'R^{-1}\pmod{N}=abR\pmod{N}\)，这样再调用一次函数计算\(REDC(X_1)=X_1R^{-1}\pmod{N}\)就能得到结果\(ab\pmod{N}\)。
这个函数\(REDC()\)就是蒙哥马利约减算法，即求\(XR^{-1}\pmod{N}\)。
所以蒙哥马利模乘可以分三步进行计算：
- 将输入\(aR^2,bR^2\)转成蒙哥马利形式，即\(aR=REDC(aR^2),bR=REDC(bR^2)\)；
- 做一次标准乘法得\(abR^2=aR*bR\)；
- 最后做一次REDC得\(abR=REDC(abR^2)\)；
- 注意上面三个步骤返回的是蒙哥马利形式的\(ab\)，即\(abR\)。若需要转换成正常形式的\(ab\)，需要再做一次\(REDC\)得\(ab=REDC(abR)\)；
代码实现
给出一个蒙哥马利模乘的Python实现计算 (23456789*12345678)%123456789，注意程序里面取\(R=2^{64}\)， 所以\(mod R\)相当于取低64bit，\(/R\)相当于右移64bit。
import math
class MontMul:
"""docstring for ClassName"""
def __init__(self, R, N):
self.N = N
self.R = R
self.logR = int(math.log(R, 2)) #log_2 ^ R
N_inv = MontMul.modinv(N, R)
self.N_inv_neg = R - N_inv #N_inv_neg=R-N^{-1}
self.R2 = (R*R)%N
@staticmethod
def egcd(a, b):
if a == 0:
return (b, 0, 1)
else:
g, y, x = MontMul.egcd(b % a, a)
return (g, x - (b // a) * y, y) #g=gcd(a,b)
@staticmethod
def modinv(a, m):
g, x, y = MontMul.egcd(a, m)
if g != 1:
raise Exception('modular inverse does not exist')
else:
return x % m
def REDC(self, T):
N, R, logR, N_inv_neg = self.N, self.R, self.logR, self.N_inv_neg
m = ((T&int('1'*logR, 2)) * N_inv_neg)&int('1'*logR, 2) # m = (T%R * N_inv_neg)%R
t = (T+m*N) >> logR # t = int((T+m*N)/R)
if t >= N:
return t-N
else:
return t
def ModMul(self, a, b):
if a >= self.N or b >= self.N:
raise Exception('input integer must be smaller than the modulus N')
R2 = self.R2
aR = self.REDC(a*R2) # convert a to Montgomery form
bR = self.REDC(b*R2) # convert b to Montgomery form
T = aR*bR # standard multiplication
abR = self.REDC(T) # Montgomery reduction
return self.REDC(abR) # covnert abR to normal ab
if __name__ == '__main__':
N = 123456789
R = 2**64 # assume here we are working on 64-bit integer multiplication
g, x, y = MontMul.egcd(N,R)
if R<=N or g !=1:
raise Exception('N must be larger than R and gcd(N,R) == 1')
inst = MontMul(R, N)
input1, input2 = 23456789, 12345678
mul = inst.ModMul(input1, input2)
if mul == (input1*input2)%N:
print ('({input1}*{input2})%{N} is {mul}'.format(input1 = input1, input2 = input2, N = N, mul = mul))
蒙哥马利模约简
蒙哥马利模约简（REDC）是蒙哥马利模乘最重要的部分，主要是计算 \(TR^{-1}\pmod{N} \gets REDC(T)\)，算法描述如下：
一般做模约减运算\(TR^{-1} mod N\)，相当于$\frac{T}{R}\pmod{N} $，需要做一次除运算，如何避免除法呢？
由于\(R=2^k\)，所以\(\frac{T}{R}\)相当于T右移k位，即\(T>>k\)。但右移k位可能会抹掉T低位中的一些1，如\(7÷4=0b111>>2=0b1=1\)，这个不是精确计算，而是向下取整的除法，当且仅当T是R的整数倍时，\(T/R=T>>k\)。所以实际上就是找一个\(m\)，使得\(T + m N\)是\(R\)的倍数，这样计算\(\frac{T+mN}{R}\)就相当于\((T+mN) >>k\) 。
- \(m\)如何找？
由于\(gcd(R,N)=1\)，根据扩展欧几里得算法得：有\(RR'-NN'=1\)，且有\(1<N'<R,0<R'<N<R\)。（这里是\(-NN'\)，所以\(N'=-N^{-1}\mod{R}\)）
扩展欧几里得:
若\(gcd(a,b)=1\)，则必存在整数\(x,y\)，使得\(ax+by=gcd(a,b)=1\)。
\(\begin{gathered} \mathrm{T+mN}\equiv0{\pmod{R}} \\ \mathrm{TN'+mNN'\equiv0}\pmod{R} \\ \mathrm{TN}^{\prime}+\mathrm{m}(\mathrm{RR}^{\prime}-1)\equiv0{\pmod{R}} \\ \mathrm{TN}^{\prime}\equiv\mathrm{m}\pmod{\mathrm{R}} \end{gathered}\)
这样就求出了\(m=TN'\pmod{R}\)。
所以在已知\(a,b,N\)，并计算出\(a',b',R,T\)下，蒙哥马利约减算法\(REDC(T)=TR^{-1}\pmod{N}\)如下：
- 计算\(N'=-N^{-1}\pmod{R},m=TN'\pmod{R}\)；
- 计算\(y=\frac{T+mN}{R}\)，即将\(T+mN\)右移\(k\)位；
- 若\(y>N\)，则\(y=y-N\)，由于\(\mathrm X<\mathrm N^2,\mathrm m<\mathrm R,\mathrm N<\mathrm R\)，所以\(0<y<2N\)，故：\(\frac{\mathrm X+\mathrm m\mathrm N}{\mathrm R}<\frac{\mathrm N^2+\mathrm R\cdot\mathrm N}{\mathrm R}<\frac{\mathrm R\mathrm N+\mathrm R\cdot\mathrm N}{\mathrm R}=2\mathrm N\)
- 返回\(y=TR^{-1}\pmod{N}\)；
蒙哥马利幂模运算
蒙哥马利幂模运算是快速计算\(a^b mod N\)的一种算法，是RSA加密算法的核心之一。
蒙哥马利幂模的优点在于减少了取模的次数（在大数的条件下）以及简化了除法的复杂度（在2的k次幂的进制下除法仅需要进行左移操作）。
计算方式是将幂模运算转化为模乘运算
例如：求D=C^15 % N
由于：ab % n = (a % n)(b % n) % n
所以令：
C = C%N
C1 =C*C % N =C^2 % N
C2 =C1*C % N =C^3 % N
C3 =C2*C2 % N =C^6 % N
C4 =C3*C % N =C^7 % N
C5 =C4*C4 % N =C^14 % N
C6 =C5*C % N =C^15 % N
即：对于E=15的幂模运算可分解为6 个乘模运算。
归纳分析以上方法可以发现：对于任意指数E，都可采用以下算法计算 D=C^E % N：
D=1
WHILE E>0
IF E%2=0
C=C*C % N
E=E/2
ELSE
D=D*C % N
E=E-1
RETURN D
继续分析会发现，要知道E何时能整除 2，并不需要反复进行减一或除二的操作，只需验证E 的二进制各位是0还是1就可以了，从左至右或从右至左验证都可以，从左至右会更简洁。
D=1
FOR i=n TO 0
D=D*D % N
IF e=1 //e是E的最后一位【判断E是否为奇数】
D=D*C % N
RETURN D
这样，模幂运算就转化成了一系列的模乘运算。
/*例如求D=C^15%N
由于：C*k % n = (C % n)*(k % n) % n
所以令:
【奇数】 C1 = C*C % N =C^2 % N 1 15
C2 = C1*C % N =C^3 % N 3 7
【奇数】C3 = C2*C2 % N =C^6 % N
C4 = C3*C % N =C^7 % N 7 3
【奇数】C5 = C4*C4 % N =C^14 % N
C6 = C5*C % N =C^15 % N 15 1
蒙哥马利幂模运算*/
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long __int64;
__int64 Montgomery(__int64 base,__int64 exp,__int64 mod)
{
__int64 res = 1;
while(exp)
{
if ( exp&1 ) //取exp的最后一位为1（奇数）
res = (res*base) % mod;
exp >>= 1; //exp/2
base = (base*base) % mod;
}
return res;
}
int main()
{
//base 底数，exponential 指数，mod 模
__int64 base,exp,mod; //base^exp % mod
base=12,exp=15,mod=99;
cout << base<<"^"<<exp<<"%"<<mod<<"="<<Montgomery(base,exp,mod) << endl;
return 0;
}
复杂度分析
-
将模除运算转换为移位运算；
-
当出现大量模乘运算时，可以通过并行运算进行预计算，节省时间；