記 \(F_{k1,k2}(n,a,b,c)=\sum\limits_{i=0}^{n}i^{k_1}\lfloor\frac{ai+b}{c}\rfloor^{k_2}\)。
\[\begin{aligned}
\lfloor\frac{ax+b}{c}\rfloor^{k_2}&=(\lfloor\frac{(a\bmod c)x+b}{c}\rfloor+\lfloor\frac{a}{c}\rfloor x)^{k_2}\\
&=\sum_{i=0}^{k_2}\binom{k_2}{i}\lfloor\frac{a}{c}\rfloor^{i}\lfloor\frac{(a\bmod c)x+b}{c}\rfloor^{k_2-i}x^{i}\\
\end{aligned}
\]
\[\begin{aligned}
\lfloor\frac{ax+b}{c}\rfloor^{k_2}&=(\lfloor\frac{ax+(b\bmod c)}{c}\rfloor+\lfloor\frac{b}{c}\rfloor)^{k_2}\\
&=\sum_{i=0}^{k_2}\binom{k_2}{i}\lfloor\frac{b}{c}\rfloor^{i}\lfloor\frac{ax+(b\bmod c)}{c}\rfloor^{k_2-i}\\
\end{aligned}
\]
不妨設 \(a<c,b<c\)。
先求出所有 \(F_{k1,0}(n,a,b,c)\)。這個與 \(a,b,c\) 無關，是一個自然數冪和。