博弈論之SG函數 學習筆記

在許多地方曾經行過這樣一個小遊戲，擺出三堆硬幣。分別包含3枚、5枚、7枚。兩人輪流行動每次可以任選一堆，從中取走任意多枚硬幣，可把一堆取完，但不能不取。取走最後一枚硬幣者獲得勝利。

這類遊戲可以推廣爲更加一般的形式:

給定 \(n\) 堆物品，第 \(i\) 堆物品有 \(A_i\) 個。兩名玩家輪流行動，每次可以任選一堆，取走任意多個物品，可把一堆取光，但不能不取。取走最後一件物品者獲勝。兩人都採取最優策略，問先手能否必勝。

我們把這種遊戲稱爲 NIM 博弈。把遊戲過程中面臨的狀態稱爲 局面。整局遊戲第一個行動的稱爲 先手，第二個行動的稱爲 後手。若在某一局面下無論採取何種行動，都會輸掉遊戲,則稱該局面 必敗。所謂採取最優策略是指，若在某一局面下存在某種行動，使得行動後對手面臨必敗局面，則優先採取該行動。同時，這樣的局面被稱爲 必勝。我們討論的博弈問題一般都只考慮理想情況，即兩人均無失誤，都採取最優策略行動時遊戲的結果。NIM 博弈不存在平局，只有 先手必勝 和 先手必敗 兩種情況。

定理

NIM博弈先手必勝，當且僅當 \(A_1 \oplus A_2 \oplus \ldots \oplus A_n \neq 0\)。

這裏，\(\oplus\) 表示異或符號。

證明:

所有物品都被取光是一個必敗局面(對手取走最後一件物品，已經獲得勝利),此時顯然有 \(A_1 \oplus A_2 \oplus \ldots \oplus A_n = 0\)。

對於任意一個局面，如果 \(A_1 \oplus A_2 \oplus \ldots \oplus A_n = x \neq 0\)，設 \(x\) 的二進制表示最高位的 \(1\) 在第 \(k\) 位,那麼至少存在一堆石子 \(A_i\)，它的第 \(k\) 位是 \(1\)。顯然 \(A_i \oplus x \lt A_i\)，我們就從 \(A_i\) 中取走若干石子，使其變爲 \(A_i \oplus x\)，就得到了一個各堆石子數異或起來等於 \(0\) 的局面。

對於任意一個局面，如果 \(A_1 \oplus A_2 \oplus \ldots \oplus A_n = 0\)，那麼無論如何取石子,到的局面下各堆石子異或起來都不等於 \(0\)。可用反證法證明，假設 \(A_i\) 被取成了 \(A_i'\)，並且 \(A_1 \oplus A_2 \oplus A_i' \oplus A_n = 0\)。由異或運算的消去律得 \(A_i' = A_i\)，與”不能不取石子”的規則矛盾。

綜上所述，再由數學歸納法可知，\(A_1 \oplus A_2 \oplus \ldots \oplus A_n \neq 0\) 爲必勝局面，一定存在一種行動讓對手面臨“各堆石子異或起來等於 \(0\)”。\(A_1 \oplus A_2 \oplus \ldots \oplus A_n = 0\) 爲必敗局面，無論如何行動，都會讓對手面臨一個“各堆石子異或起來不等於 \(0\)”的必勝局面。

證畢。

公平組合遊戲ICG

若一個遊戲滿足:

1. 由兩名玩家交替行動；
2. 在遊戲進程的任意時刻，可以執行的合法行動與輪到哪名玩家無關；
3. 不能行動的玩家判負。

則稱該遊戲爲一個公平組合遊戲。

NIM 博弈屬於公平組合遊戲，但常見的棋類遊戲，比如圍棋，就不是公平組合遊戲。因爲圍棋交戰雙方分別只能落黑子和白子，勝負判定也比較複雜，不滿足條件 2 和條件 3。

有向圖遊戲

給定一個有向無環圖，圖中有一個唯一的起點，在起點上放有一枚棋子。兩名玩家交替地把這枚棋子沿有向邊進行移動，每次可以移動一步，無法移動者判負。該遊戲被稱爲 有向圖遊戲。

任何一個公平組合遊戲都可以轉化爲有向圖遊戲。具體方法是，把每個局面看成圖中的一個節點，並且從每個局面向沿着合法行動能夠到達的下一個局面連有向邊。

Mex運算

設 \(S\) 表示一個非負整數集合。定義 \(mex(S)\) 爲求出不屬於集合 \(S\) 的最小非負整數的運算，即:

\[mex(S) = \min\limits_{x \in \mathbb{N}, x \notin S} \{ x \} \]

SG函數

在有向圖遊戲中，對於每個節點 \(x\)，設從 \(x\) 出發共有 \(k\) 條有向邊，分別到達節點 \(y_1, y_2, \ldots, y_k\)，定義 \(SG(x)\) 爲 \(x\) 的後繼節點 \(y_1, y_2, \ldots, y_k\) 的 SG 函值構成的集合再執行 \(mex\) 運算的結果，即：

\[SG(x) = mex(\{ SG(y_1), SG(y_2), \ldots, SG(y_k) \}) \]

特別地，整個有向圖遊戲 \(G\) 的 SG 函數值被定義爲有向圖遊戲起點 \(s\) 的 SG 函數值，即 \(SG(G) = SG(s)\)。

有向圖遊戲的和

設 \(G_1, G_2, \ldots, G_m\) 是 \(m\) 個有向圖遊戲，定義有向圖遊戲 \(G\)，它的行動規則是任選某個有向圖遊戲 \(G_i\)，並在 \(G_i\) 上行動一步。\(G\) 被稱爲優先圖遊戲 \(G_1, G_2, \ldots, G_m\) 的和。

有向圖遊戲的和的 SG 函數值等於它包含的各個子游戲 SG 函數值的異或和，即：

\[SG(G) = SG(G_1) \oplus SG(G_2) \oplus \ldots \oplus SG(G_m) \]

上述性質被稱爲 SG定義。SG定理的證明

定理

有向圖遊戲的某個局面必勝，當且僅當該局面對應節點的 SG 函數值大於 \(0\)。

有向圖遊戲的某個局面必敗，當且僅當該局面對應節點的 SG 函數值等於 \(0\)。

我們不再詳細證明該定理。讀者可以這樣理解:

在一個沒有出邊的節點上，棋子不能移動，它的 SG 值爲 \(0\)，對應必敗局面。

若一個節點的某個後繼節點 SG 值爲 \(0\)，在 mex 運算後，該節點的SG值大於 \(0\)。這等價於，若一個局面的後繼局面中存在必敗局面，則當前局面爲必勝局面。

若一個節點的後繼節點 SG 值均不爲 \(0\)，在 mex 運算後，該節點的 SG 值爲 \(0\)。這等價於，若一個局面的後繼局面全部爲必勝局面，則當前局面爲必敗局面。

對於若干個有向圖遊戲的和，其證明方法與 NIM 博弈類似。（即上面 SG定理的證明 ）