Fourier變換及其逆變換
在我們已經討論過的Fourier級數中，我們能夠取三角函數的一個週期\([-\pi,\pi]\)對任何週期爲\(2\pi\)的函數做Fourier展開。現在假設函數的週期不是\(2\pi\)而是一般地具有有限週期\(2T\)，那麼很自然地我們可以對三角函數做伸縮，用\(\sin \dfrac{\pi}{T}x\)和\(\cos \dfrac{\pi}{T}x\)的三角級數做展開，得到：\(f_T(x)\sim\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos\left(\dfrac{n\pi}{T}x\right)+b_n\sin\left(\dfrac{n\pi}{T}x\right)\right]\)。其中，\(a_n=\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_{-T}^{T}f_T(x)\cos \left(\dfrac{n\pi}{T}x\right)dx\)，\(b_n=\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_{-T}^{T}f_T(x)\sin \left(\dfrac{n\pi}{T}x\right)dx\)。而對於非週期函數，我們總可以選定一段定義域區間\([-T,T]\)而拋棄其餘的部分，取而代之選定區間的部分從而把它“延拓”爲週期函數，而對於週期函數我們可以寫出其Fourier級數，這之後再令\(T\to +\infty\)就可以得到一般非週期函數的Fourier展開。
我們常常用復指數來表示三角函數，這樣會得到更簡潔的形式。由歐拉公式有\(\cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\)，\(\sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}=-\dfrac{i}{2}(e^{i\theta}-e^{-i\theta})\)。記\(\dfrac{\pi}{T}=\omega\)，得到\(f_T(x)\sim \dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n \cdot \dfrac{e^{in\omega x}+e^{-in\omega x}}{2}-ib_n \cdot \dfrac{e^{in\omega x}-e^{-in\omega x}}{2})\)\(=\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{a_n-ib_n}{2}e^{in\omega x}+\dfrac{a_n+ib_n}{2}e^{-in\omega x}\right)\)。記\(a_n-ib_n=c_n\)，則\(a_n+ib_n=\overline{c_n}\)。代入\(a_n,b_n\)的表達式，得到\(c_n=\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_{-T}^{T}f_T(x)\left[\cos \left(\dfrac{n\pi}{T}x\right)-i\sin\left(\dfrac{n\pi}{T}x\right)\right]dx=\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_{-T}^{T}f_T(x)e^{-in\omega x}dx\)。那麼現在整個Fourier級數可以寫成\(f_T(x)\sim \dfrac{a_0}{2}+\dfrac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty}(c_n e^{in\omega x}+\overline{c_n}e^{-in\omega x})\)。爲了寫法上的方便，我們記\(\overline{c_n}=c_{-n}\)，同時\(c_0=a_0\)。那麼寫出\(f_T(x)\sim \dfrac{1}{2}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n e^{in\omega x}\)，這就是Fourier級數的複數形式。
代入\(c_n\)，得到\(f_T(x)\sim \dfrac{1}{2T}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\left[\displaystyle\int_{-T}^{T}f_T(x)e^{-in\omega x}dx\right]e^{in\omega t}\)。現在令\(T\to +\infty\)。代入\(T=\dfrac{\pi}{\omega}\)，那麼\(\omega \to 0\)。得到\(f_\infty(x)\sim \lim\limits_{\omega \to 0}\dfrac{\omega}{2\pi}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\left[\displaystyle\int_{-T}^{+T}f_T(x)e^{-in\omega x}dx\right]e^{in\omega t}\)，而求和的部分形如Riemann和的形式，因此在形式上對一般的函數\(f\)可以寫出\(f(x)\sim \dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx\right]e^{i\omega t}d\omega\)。可以觀察到，內層的積分和外層的積分有着非常相似的形式，內層積分對於每個\(\omega\)都得到一個值，形成了一個關於“頻率”\(\omega\)的函數，這個函數在外層積分的作用後又會恢復到\(f\)本身。從一個函數到另一個函數的過程就是“變換”(transform)，我們定義函數\(\hat f(\omega)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx\)爲\(f\)的Fourier變換，記爲\(F[f](\omega)\)。定義\(\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\hat f(\omega)e^{i\omega x}d\omega\)爲Fourier變換的逆變換，記爲\(F^{-1}[\hat f](x)\)。在一定的條件下，可以認爲\(f(x)=F^{-1}[F[f]]\)，其中\(F^{-1}[F[f]]=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx\right]e^{i\omega t}d\omega\)就稱爲Fourier積分。可以證明（略）如下充分條件：如果\(f\)在\((-\infty,+\infty)\)上絕對可積且在任何閉區間上分段可導，那麼\(f\)的Fourier積分等於\(f\)本身。