B-tree是一種用來搜索大量數據的結構。它是40多年前發明的，但它仍然被大多數現代數據庫所使用。儘管有較新的索引結構，如LSM樹，但B樹在處理大多數數據庫查詢時仍然是無與倫比的。
下面我們來了解B-tree是如何組織數據的，以及它是如何執行搜索查詢的。
一、起源
爲了理解B-tree，讓我們首先了解二進制搜索樹（BST）Binary Search Tree。
看名字是不是看起來差不多？
那麼“B”代表什麼？
據wikipedia.org報道，B-tree的發明者Edward M.McCreight曾說過：
“你越想B-tree中的B是什麼意思，就越能理解B-tree。”
混淆B-tree和BST是非常常見的。無論如何，在我看來，BST是理解B樹的一個很好的起點。讓我們從BST的一個簡單示例開始：
具有三個節點的二進制搜索樹
數字越大總是在右邊，數字越低總是在左邊。當我們增加更多的數字時，情況可能會變得更清楚。
這個樹包含七個數字，我們最多需要訪問三個節點就能找到任何數字。以下示例搜索14。我使用SQL來定義查詢，以便將此樹對應實際的數據庫索引。
二、硬件
理論上，使用二進制搜索樹來運行我們的查詢看起來很好。其時間複雜性（搜索時）爲
O（logn）
，與B-樹相同。然而，在實踐中，這種數據結構需要在實際硬件上工作。
一般的，索引必須存儲在計算機上的某個位置。
計算機有三個地方可以存儲數據：
·CPU緩存
·RAM（內存）
·磁盤（存儲）
緩存完全由CPU管理。此外，它相對較小，通常只有幾兆字節。索引可能包含千兆字節的數據，所以它不適合放在CPU緩存。
數據庫大量使用內存（RAM）。它有一些很大的優點：
確保快速隨機訪問（下一段將詳細介紹）
其大小可能相當大（例如，AWS RDS雲服務爲實例提供了幾TB的可用內存）。
但是，當電源關閉時，數據會丟失。此外，與磁盤相比，它相當昂貴。
最後，內存的缺點是磁盤存儲的優點。它很便宜，即使我們失去電源，數據也會留在那裏。所以，看起來磁盤纔是最終選擇。但是讀取速度是一個問題，
從磁盤讀取速度很快，但只能在特定條件下進行！簡單地解釋一下。
（1）隨機和順序訪問
存儲器可以看做值的一行容器，其中每個容器都有編號。
（隨機訪問）現在讓我們假設我們想要從容器1、4和6中讀取數據。它需要隨機訪問：
（順序訪問）然後讓我們將其與讀取容器3、4和5進行比較。可以按順序進行：
“隨機跳轉”和“順序讀取”之間的區別可以根據硬盤驅動器來解釋。它由磁頭和磁盤組成。
“隨機跳躍”需要將磁頭移動到磁盤上的指定位置。“順序讀取”就是簡單地旋轉磁盤，允許磁頭讀取連續的值。當讀取兆字節的數據時，這兩種類型的訪問之間的差異是巨大的。使用“順序讀取”顯著降低了獲取數據所需的時間。
Adam Jacobs發表在Acm Queue上的文章《The Pathologies of Big Data》研究了隨機訪問和順序訪問之間的速度差異：
·HDD上的順序訪問可能比隨機訪問快數十萬倍。
·從磁盤順序讀取可能比從存儲器隨機讀取更快。
現在誰還會用HDD硬盤？都是SSD，這項研究表明，從HDD完全按順序讀取可能比SSD更快。然而，請注意，這篇文章來自2009年，SSD在過去十年中得到了顯著發展，因此這些結果可能已經過時。
總之，關鍵的收穫是儘可能地選擇順序訪問。接下來，我將解釋如何將順序訪問應用於我們的索引結構。
三、優化樹以實現順序訪問
二進制搜索樹可以與堆相同的方式在內存中表示：
父節點位置爲i
左側節點位置爲2i
右側節點位置爲2i+1
這就是基於示例計算這些位置的方式（父節點從1開始）：
根據計算出的位置，將節點排列到內存中：
你還記得上面的可視化的查詢嗎？
這就是它在存儲器上的樣子：
當執行查詢時，需要訪問存儲器地址1、3和6。訪問三個節點不是問題；然而，當我們存儲更多的數據時，樹會變得更高。
存儲超過一百萬個值需要一棵高度至少爲20的樹。這意味着必須讀取內存中不同位置的20個值。完全就是隨機訪問！
四、頁
當一棵樹長得越來越高時，隨機訪問會造成越來越多的延遲。減少這個問題的解決方案很簡單：把樹長得寬而不是高。它可以通過將多個值存放到單個節點中來實現。
它給我們帶來了以下好處：
·這棵樹比較淺（兩層而不是三層）
·它仍然有很大的空間來創造新的價值觀，而不需要進一步增長
對此類索引執行的查詢如下所示：
請注意，每次訪問節點時，我們都需要加載其所有值。在本例中，我們需要加載4個值（如果樹已滿，則加載6個值），以便達到我們要查找的值。下面，您將在內存中找到這棵樹的可視化視圖：
與前面的例子（樹的高度）相比，這個搜索應該更快。我們只需要隨機訪問兩次（跳轉到單元格0和9），然後依次讀取其餘值。
隨着數據庫的增長，此解決方案的效果越來越好。如果您想存儲一百萬個值，那麼您需要：
具有20個級別的二進制搜索樹
或者
具有10個級別的3值節點樹
來自單個節點的值構成一個頁面。在上面的示例中，每個頁面由三個值組成。頁面是相鄰放置在磁盤上的一組值，因此數據庫可以通過一次順序讀取一次訪問整個頁面。
它是如何與現實相聯繫的？Postgres頁面大小爲8kB。假設20%用於元數據，那麼它還有6kB。頁面的一半用於存儲指向節點子節點的指針，因此它爲我們提供了3kB的值。BIGINT大小爲8個字節，因此我們可以在單個頁面中存儲約375個值。
假設數據庫中一些相當大的表有10億行，我們需要在Postgres樹中存儲多少級？根據上面的計算，如果我們創建一個可以在單個節點中處理375個值的樹，那麼它可能會用一個只有四個級別的樹存儲10億個值。二進制搜索樹需要30個級別的數據量。
總之，在樹的單個節點中放置多個值有助於我們降低其高度，從而利用順序訪問的好處。此外，B樹不僅可以在高度上生長，還可以在寬度上生長（通過使用較大的頁面）。
五、平衡
數據庫中有兩種類型的操作：寫入和讀取。在上一節中，我們討論了從B-樹中讀取數據的問題。但是，寫入也是至關重要的一部分。將數據寫入數據庫時，B樹需要不斷更新新值。
樹形取決於添加到樹中的值的順序。它在二叉樹中很容易看到。如果按不正確的順序添加值，我們可能會獲得不同深度的樹。
當樹在不同的節點上具有不同的深度時，它被稱爲不平衡樹。基本上有兩種方法可以使這樣的樹恢復到平衡狀態：
1.只需按正確的順序添加值，即可從頭開始重建它。
2.隨着新值的增加，始終保持平衡。
B樹實現了第二個選項。使樹始終保持平衡的一個特性稱爲自平衡。
六、自平衡算法實例
只需創建一個節點並添加新值，直到其中沒有可用空間，就可以開始構建B樹。
如果相應的頁面上沒有空間，則需要對其進行拆分。要執行拆分，請選擇“拆分點”。在這種情況下，它將是12，因爲它是在中間。“分割點”是一個將移動到上頁的值。
現在，它把我們帶到了一個有趣的地方，那裏沒有上一頁。在這種情況下，需要生成一個新的根頁面（它將成爲新的根頁！）。
最後，在這三個中有一些自由空間，所以可以加上值14。
按照這個算法，我們可以不斷地向B樹添加新的值，它將始終保持平衡！
在這一點上，你可能有一個合理的擔憂，即有很多空閒空間沒有機會被填滿。例如，值14、15和16在不同的頁面上，因此這些頁面將永遠只保留一個值和兩個可用空間。
這是由拆分位置選擇引起的。我們總是把頁面在中間分開。但每次我們進行拆分時，我們都可以選擇任何我們想要的拆分位置。
Postgres有一個算法，每次執行拆分時都會運行！它的實現可以在Postgres源代碼中的_bt_findsplilloc（）函數中找到。它的目標是儘可能少地留出空閒空間。
總結
在本文中，您瞭解了B樹是如何工作的。總而言之，它可以簡單地描述爲一個二進制搜索樹產生了兩個變化：
1.每個節點可以包含多個值
2.插入新值之後是自平衡算法。
儘管現代數據庫使用的結構通常是B-樹（如B+樹）的一些變體，但它們仍然基於原始概念。在我看來，B樹的一大優勢是它被直接設計爲在實際硬件上處理大量數據。這可能是B樹伴隨我們這麼長時間的原因。
轉載：https://blog.allegro.tech/2023/11/how-does-btree-make-your-queries-fast.html