Zorn's Lemma陳述如下：在偏序集\(P\)中，如果\(P\)的每一條鏈都有一個\(P\)中元素作爲上界，那麼\(P\)中存在極大元。
Proof
反證法，假如\(P\)中沒有極大元。那麼對於\(P\)的任意一條鏈\(C\subseteq P\)，我們一定能在\(P\setminus C\)中找到一個元素作爲\(C\)的上界（如果不是這樣，那麼既然\(C\)一定有一個上界，這個上界只能在\(C\)內部。如果\(C\)是無窮的，那麼這是不可能的；如果\(C\)是有窮的，那麼這個上界就是\(C\)的末端點，\(P\)中沒有元素比它大，說明這是一個極大元，矛盾）。我們任取這樣一個可行的上界，記爲\(g(C)\)（其中，\(g\)是由我們的選擇給出的\(\mathscr{Pow}(P)\to P\)的映射。注意，這裏我們假設了集合論中的選擇公理(Axiom of Choice)成立）。
對於\(P\)的任意子集\(S\)，記\(S_{<a}=\{x\in S\mid x<a\}\)。稱鏈\(C\)是一條\(g\)鏈，如果\(C\)中不存在無窮下降的子鏈（i.e. \(c_i\in C,c_1>c_2>\cdots>c_n>\cdots\)）且\(\forall a\in C,g(C_{<a})=a\)。
下面我們證明(Lemma 1)：如果\(A,B\)是兩條不同的\(g\)鏈，那麼\(\exists b\in B,A=B_{<b}\)與\(\exists a\in A,B=A_{<a}\)中至少有一個成立（這個Lemma想說，兩條不同的\(g\)鏈一定一條包含另一條，偏序集中只有一條“完整的”\(g\)鏈）。記\(C=\{c\in A\cap B\mid A_{<c}=B_{<c}\}\)。那麼\(C\subseteq A\)。如果\(C\neq A\)，那麼考慮\(A\setminus C\)，\(A\setminus C\)是\(A\)的子鏈，它一定有最小元（設爲\(a\)），不然就無窮下降了。那麼\(A_{<a}\)中沒有任何\(A\setminus C\)中的元素，而\(A_{<a}\subseteq A\)，因此\(A_{<a}\subseteq C\)。此時考慮\(C\setminus A_{<a}\)，如果其中存在元素\(c\)，那麼\(c\not\in A_{<a}\)，也即\(c\geq a\)。而\(a\in A\setminus C\)，因此\(a\not\in C\)，因此\(a\not\in C\setminus A_{<a}\)，因此\(a\neq c\)。所以\(c>a\)，所以\(a\in A_{<c}\)。而\(c\in C\)，因此\(A_{<c}=B_{<c}\)。而\(\forall c'\in A_{<c}\)，若\(c'<c\)，則\(A_{<c'}=B_{<c'}\)，且\(c'\in A\cap B\)，因此\(c'\in C\)。所以\(A_{<c}\subseteq C\)，這說明\(a\in C\)，矛盾。 綜上，\(C\neq A\implies C=A_{<a}\)。對稱地，\(C\neq B\implies C=B_{<b}\)，其中\(b\)是\(B\setminus C\)的最小元。設\(C\neq A\)且\(C\neq B\)，那麼\(C=A_{<a}=B_{<b}\)。根據\(g\)鏈的定義，\(g(A_{<a})=a\)，\(g(B_{<b})=b\)，而\(A_{<a}=B_{<b}\)，所以\(g(A_{<a})=g(B_{<b})\)，因此\(a=b\)。而\(a\in A,b\in B\)，所以\(a\in C\)。而\(a\in A\setminus C\)，矛盾。因此\(C=A\)與\(C=B\)中有且僅有一個成立（因爲\(A\neq B\)）。假如\(C=A\)，那麼\(C\neq B\)，這推出\(C=B_{<b}\)，可見\(A=B_{<b}\)；假設\(C=B\)，那麼\(C\neq A\)，這推出\(C=A_{<a}\)，可見\(B=A_{<a}\)。證畢。
把所有的\(g\)鏈收集進集合\(G\)，記\(E=\bigcup\limits_{C\in G}C\)（\(E\in \mathscr{Pow}(P)\)）。下面我們證明\(\forall a\in E\)，如果\(A\in G\)且\(a\in A\)，那麼\(A_{<a}=E_{<a}\)(Lemma 2)（這個Lemma想說：\(E\)中每個元素都滿足，所有比它小的元素恰好就是這個元素所在的\(g\)鏈中比它小的元素）。顯然\(A\subseteq E\)，因此\(A_{<a}\subseteq E_{<a}\)。那麼只需證\(E_{<a}\subseteq A_{<a}\)。\(\forall x\in E_{<a}\)，存在\(B\in G\)使得\(x\in B\)。對\(B\)分類討論，如果\(B\subseteq A\)，那麼\(x\in A_{<a}\)；如果\(B\not\subseteq A\)，那麼\(A\neq B\)，由Lemma 1可知\(\exists b\in B,A=B_{<b}\)與\(\exists a\in A,B=A_{<a}\)中至少有一個成立。後者意味着\(B\subseteq A\)，矛盾，因此一定是前者成立。因爲\(a\in A\)，於是\(a\in B_{<b}\)，所以\(a<b\)。而\(x<a\)，因此\(x<b\)。因此\(x\in B_{<b}\)。因此\(x\in A\)。而\(x<a\)，因此\(x\in A_{<a}\)。綜上，\(E_{<a}\subseteq A_{<a}\)。證畢。
下面證明\(E\)是鏈。\(\forall a,b\in E\)，存在\(A\in G\)使得\(a\in A\)，存在\(B\in G\)使得\(b\in B\)。由Lemma 1可知，兩條\(g\)鏈必然有一條包含在另一條中。若\(A\subseteq B\)，則\(a,b\in B\)，因此可比較大小；若\(B\subseteq A\)，則\(a,b\in A\)，因此也可以比較大小。由此可見\(E\)中任意兩個元素都可以比較大小，因此\(E\)是鏈。
下面證明\(E\)是\(g\)鏈。先證\(E\)沒有無窮下降的子鏈。如果\(E\)有無窮下降的子鏈\(a_1>a_2>\cdots\)，設\(a_1\in A\)且\(A\in G\)，那麼\(\forall i>1,a_i<a_1\)，因此\(a_i\in E_{<a_1}\)。由Lemma 2可知，\(E_{<a_1}=A_{<a}\)。因此\(a_i\in A_{<a}\)。這說明\(A\)有無窮下降的子鏈，與\(A\)是\(g\)鏈矛盾。再證\(\forall a\in E,g(E_{<a})=a\)。設\(a\in A,A\in G\)，那麼\(g(A_{<a})=a\)。根據Lemma 2，\(E_{<a}=A_{<a}\)，因此\(g(E_{<a})=a\)。
下面證明\(F=E\cup \{g(E)\}\)也是\(g\)鏈。\(E\)中元素可以兩兩比較大小，\(g(E)\)作爲上界可以和所有\(E\)中元素比較大小，因此\(F\)中元素可以兩兩比較大小；因爲\(E\)中不存在無窮下降的子鏈，因此加上一個元素後還是不存在無窮下降的子鏈；\(\forall a\in E\)，因爲\(E\)是\(g\)鏈，\(g(E_{<a})=a\)，而\((E\cup \{g(E)\})_{<g(E)}=E\)，因此\(g((E\cup \{g(E)\})_{<g(E)})=g(E)\)。綜上，\(F\)是\(g\)鏈。
\(\forall E'\in \mathscr{Pow}(P)\)，如果\(E'\)是\(g\)鏈，那麼\(E'\subseteq E\)。而\(F\)是\(g\)鏈，可是\(F\not\subseteq E\)。矛盾。
Qed.
Remark
上述證明過程用到了選擇公理（給定一族集合，那麼可以從每個集合中選一個元素組成一個新的集合）。事實上可以證明，在集合論的ZF公理體系下，如果承認除了選擇公理以外的其它公理以及Zorn's Lemma，那麼可以推出選擇公理。這說明，Zorn's Lemma是集合論的ZF公理體系中選擇公理的等價表述。