2018.8.3
普通青蛙跳臺階問題實際上是一道斐波那契數列的題目，可以直接參考上一篇對斐波那契數列的算法分析和實現的文章——#數據結構與算法學習筆記#劍指Offer7：斐波那契數列的四種編程實現方法 + 測試用例（Java、C/C++）。
變態青蛙跳臺階問題就厲害了，思想其實本質還是斐波那契數列的思想，但是卻不需要編程循環或者遞歸模擬斐波那契的加和過程，只需要用順推的思想+數學歸納法歸納就可以確定公式 
普通跳青蛙題目描述
一隻青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法（先後次序不同算不同的結果）。
變態跳青蛙題目描述
一隻青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級……它也可以跳上n級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法。
普通跳青蛙原理：
斐波那契數列：
思路：由後往前倒推，當青蛙站在第n級臺階時回顧上一步，他到達第n級臺階可以有兩種方式：1.從下一級臺階第n-1級往上跳1步，2.從下兩級臺階第n-2級往上跳2步。那青蛙到第n級臺階的方法數
變態跳青蛙公式數學歸納法證明：
我們觀察有：
於是我們猜想：
通過普通跳青蛙原理的延伸，我們可以知道（十分重要）：
數學歸納法證明：
① 當n = 1 時，有
② 假設當n = k時，有
③ 
普通青蛙跳臺階編程實現：其實就是求斐波那契數列，一共有四種實現方法，可以參考上一篇文章的代碼實現，#數據結構與算法學習筆記#劍指Offer7：斐波那契數列的四種編程實現方法 + 測試用例（Java、C/C++），完全一模一樣。當然我還是貼出幾種來給大家做個參考。
普通青蛙跳臺階Java實現：
/**
*
* @author ChopinXBP
* 一隻青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法（先後次序不同算不同的結果）。
*
*
*/
public class JumpFloor {
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
int num = Solve(5);
int num2 = Solve2(5);
System.out.println(num);
System.out.println(num2);
}
//迭代法解答，清晰明瞭，但效率極低
public static int Solve(int target) {
if (target < 3)
return target;
return Solve(target - 1) + Solve(target - 2);
}
// 最佳解答：循環順推法
public static int Solve2(int target) {
if (target == 1 || target == 2) {
return target;
}
// 第一階和第二階考慮過了，初始當前臺階爲第三階，向後迭代
// 思路：當前臺階的跳法總數=當前臺階後退一階的臺階的跳法總數+當前臺階後退二階的臺階的跳法總數
int jumpSum = 0;// 當前臺階的跳法總數
int jumpSumBackStep1 = 2;// 當前臺階後退一階的臺階的跳法總數(初始值當前臺階是第3階)
int jumpSumBackStep2 = 1;// 當前臺階後退二階的臺階的跳法總數(初始值當前臺階是第3階)
for (int i = 3; i <= target; i++) {
jumpSum = jumpSumBackStep1 + jumpSumBackStep2;
jumpSumBackStep2 = jumpSumBackStep1;// 後退一階在下一次迭代變爲後退兩階
jumpSumBackStep1 = jumpSum; // 當前臺階在下一次迭代變爲後退一階
}
return jumpSum;
}
}
普通青蛙跳臺階C++實現參考：
class Solution {
public:
int jumpFloor(int n) {
int f=1,g=2;
n--;
while(n--)
{
g+=f;
f=g-f;
}
return f;
}
};
變態青蛙跳臺階編程實現，其實就一行代碼的事情。
變態青蛙跳臺階Java實現：
/**
*
* @author ChopinXBP
* 一隻青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級……它也可以跳上n級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法。
*
*
*/
public class JumpFloor2 {
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
int num = Solve(5);
System.out.println(num);
}
//可用數學歸納法證明，f(n) = 2 ^ (n - 1)
public static int Solve(int target) {
return (int)Math.pow(2, target - 1);
}
}
變態青蛙跳臺階C++實現參考：效率超高的位運算。
class Solution {
public:
int jumpFloorII(int number) {
return 1<<--number;
}
};
#Coding一小時，Copying一秒鐘。留個言點個讚唄，謝謝你#