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歷屆試題 矩陣翻硬幣  

時間限制：1.0s   內存限制：256.0MB

問題描述

　　小明先把硬幣擺成了一個 n 行 m 列的矩陣。

　　隨後，小明對每一個硬幣分別進行一次 Q 操作。

　　對第x行第y列的硬幣進行 Q 操作的定義：將所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬幣進行翻轉。

　　其中i和j爲任意使操作可行的正整數，行號和列號都是從1開始。

　　當小明對所有硬幣都進行了一次 Q 操作後，他發現了一個奇蹟——所有硬幣均爲正面朝上。

　　小明想知道最開始有多少枚硬幣是反面朝上的。於是，他向他的好朋友小M尋求幫助。

　　聰明的小M告訴小明，只需要對所有硬幣再進行一次Q操作，即可恢復到最開始的狀態。然而小明很懶，不願意照做。於是小明希望你給出他更好的方法。幫他計算出答案。

輸入格式

　　輸入數據包含一行，兩個正整數 n m，含義見題目描述。

輸出格式

　　輸出一個正整數，表示最開始有多少枚硬幣是反面朝上的。

樣例輸入

2 3

樣例輸出

1

數據規模和約定

　　對於10%的數據，n、m <= 10^3；
　　對於20%的數據，n、m <= 10^7；
　　對於40%的數據，n、m <= 10^15；
　　對於10%的數據，n、m <= 10^1000（10的1000次方）。

看n和m的大小以及要求的時間，很明顯的大數加規律題，打表找規律，發現最後答案是

sqrt(n)向下取餘 乘以 sqrt(m)向下取餘

求大整數平方根用二分法在給定的數據規模下最壞幾千次就可以算出來了

打表代碼：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>

using namespace std;

int main()
{
	freopen("D:\\test.txt", "w", stdout);
	const int maxn = 50, maxm = 50;
	const int mr = maxn + 5, mc = maxm + 5;
	int a[mr][mc];
	int n, m;
	for (n = 1; n <= maxn; n++) {
		for (m = 1; m <= maxm; m++) {
			memset(a, 0, sizeof(a));
			for (int i = 1; i <= n; i++) {
				for (int j = 1; j <= m; j++) {
					for (int k = 1; i * k <= n; k++) {
						for (int q = 1; j * q <= m; q++) {
							a[i * k][j * q] = !a[i * k][j * q];
						}
					}
				}
			}
			int cnt = 0;
			for (int i = 1; i <= n; i++) {
				for (int j = 1; j <= m; j++) {
					if (a[i][j]) {
						cnt++;
					}
				}
			}
			printf("n:%d m:%d cnt:%d\n", n, m, cnt);
		}
	}
	return 0;
}

Java大數二分法求平方根：

import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;

public class Main {

	public static void main(String[] args) {
		Scanner in = new Scanner(System.in);
		BigInteger n, m, ans;
		
		n = in.nextBigInteger();
		m = in.nextBigInteger();
		
		ans = (sqrt(n)).multiply(sqrt(m));
		System.out.println(ans);
		
		in.close();
	}
	
	static BigInteger sqrt(BigInteger x) {
		BigInteger left, right, mid = null, t;
		BigInteger TWO = BigInteger.valueOf(2);
		left = BigInteger.ZERO;
		right = new BigInteger(x.toString());
		while (true) {
			int cmp = left.compareTo(right);
			if (cmp > 0) break;
			mid = (left.add(right)).divide(TWO);
			t = mid.multiply(mid);
			if (t.compareTo(x) == 0) return mid;
			if (t.compareTo(x) < 0) {
				left = mid.add(BigInteger.ONE);
			} else {
				right = mid.subtract(BigInteger.ONE);
			}
		}
		return right;
	}
}