下面是轉載的內容，主要是介紹邏輯迴歸的理論知識，先總結一下自己看完的心得
簡單來說線性迴歸就是直接將特徵值和其對應的概率進行相乘得到一個結果，邏輯迴歸則是這樣的結果上加上一個邏輯函數
這裏選用的就是Sigmoid函數，在座標尺度很大的情況下類似於階躍函數
在確認特徵對應的權重值也就是迴歸係數的時候
最常用的方法是最大似然法，EM參數估計，這個是在一階導數能夠有解的前提下
如果一階導數無法求得解析值，那麼一般選取梯度上升法，通過有限次的迭代過程，結合代價函數更新迴歸係數至收斂
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下面內容參考：http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/20319673
邏輯迴歸（LogisticRegression）
Logistic regression （邏輯迴歸）是當前業界比較常用的機器學習方法，用於估計某種事物的可能性。之前在經典之作《數學之美》中也看到了它用於廣告預測，也就是根據某廣告被用戶點擊的可能性，把最可能被用戶點擊的廣告擺在用戶能看到的地方，然後叫他“你點我啊！”用戶點了，你就有錢收了。這就是爲什麼我們的電腦現在廣告氾濫的原因了。
還有類似的某用戶購買某商品的可能性，某病人患有某種疾病的可能性啊等等。這個世界是隨機的（當然了，人爲的確定性系統除外，但也有可能有噪聲或產生錯誤的結果，只是這個錯誤發生的可能性太小了，小到千萬年不遇，小到忽略不計而已），所以萬物的發生都可以用可能性或者機率（Odds）來表達。“機率”指的是某事物發生的可能性與不發生的可能性的比值。
Logistic regression可以用來回歸，也可以用來分類，主要是二分類。還記得上幾節講的支持向量機SVM嗎？它就是個二分類的例如，它可以將兩個不同類別的樣本給分開，思想是找到最能區分它們的那個分類超平面。但當你給一個新的樣本給它，它能夠給你的只有一個答案，你這個樣本是正類還是負類。例如你問SVM，某個女生是否喜歡你，它只會回答你喜歡或者不喜歡。這對我們來說，顯得太粗魯了，要不希望，要不絕望，這都不利於身心健康。那如果它可以告訴我，她很喜歡、有一點喜歡、不怎麼喜歡或者一點都不喜歡，你想都不用想了等等，告訴你她有49%的機率喜歡你，總比直接說她不喜歡你，來得溫柔。而且還提供了額外的信息，她來到你的身邊你有多少希望，你得再努力多少倍，知己知彼百戰百勝，哈哈。Logistic regression就是這麼溫柔的，它給我們提供的就是你的這個樣本屬於正類的可能性是多少。
還得來點數學。（更多的理解，請參閱參考文獻）假設我們的樣本是{x, y}，y是0或者1，表示正類或者負類，x是我們的m維的樣本特徵向量。那麼這個樣本x屬於正類，也就是y=1的“概率”可以通過下面的邏輯函數來表示：
這裏θ是模型參數，也就是迴歸係數，σ是sigmoid函數。實際上這個函數是由下面的對數機率（也就是x屬於正類的可能性和負類的可能性的比值的對數）變換得到的：
換句話說，y也就是我們關係的變量，例如她喜不喜歡你，與多個自變量（因素）有關，例如你人品怎樣、車子是兩個輪的還是四個輪的、長得勝過潘安還是和犀利哥有得一拼、有千尺豪宅還是三寸茅廬等等，我們把這些因素表示爲x1, x2,…, xm。那這個女的怎樣考量這些因素呢？最快的方式就是把這些因素的得分都加起來，最後得到的和越大，就表示越喜歡。但每個人心裏其實都有一杆稱，每個人考慮的因素不同，蘿蔔青菜，各有所愛嘛。例如這個女生更看中你的人品，人品的權值是0.6，不看重你有沒有錢，沒錢了一起努力奮鬥，那麼有沒有錢的權值是0.001等等。我們將這些對應x1, x2,…, xm的權值叫做迴歸係數，表達爲θ1, θ2,…, θm。他們的加權和就是你的總得分了。請選擇你的心儀男生，非誠勿擾！哈哈。
所以說上面的logistic迴歸就是一個線性分類模型，它與線性迴歸的不同點在於：爲了將線性迴歸輸出的很大範圍的數，例如從負無窮到正無窮，壓縮到0和1之間，這樣的輸出值表達爲“可能性”才能說服廣大民衆。當然了，把大值壓縮到這個範圍還有個很好的好處，就是可以消除特別冒尖的變量的影響（不知道理解的是否正確）。而實現這個偉大的功能其實就只需要平凡一舉，也就是在輸出加一個logistic函數。另外，對於二分類來說，可以簡單的認爲：如果樣本x屬於正類的概率大於0.5，那麼就判定它是正類，否則就是負類。實際上，SVM的類概率就是樣本到邊界的距離，這個活實際上就讓logistic regression給幹了。
所以說，LogisticRegression 就是一個被logistic方程歸一化後的線性迴歸，僅此而已。
好了，關於LR的八卦就聊到這。歸入到正統的機器學習框架下，模型選好了，只是模型的參數θ還是未知的，我們需要用我們收集到的數據來訓練求解得到它。那我們下一步要做的事情就是建立代價函數了。
LogisticRegression最基本的學習算法是最大似然。啥叫最大似然，可以看看我的另一篇博文“從最大似然到EM算法淺解”。
假設我們有n個獨立的訓練樣本{(x1, y1) ,(x2, y2),…, (xn, yn)}，y={0, 1}。那每一個觀察到的樣本(xi, yi)出現的概率是：
上面爲什麼是這樣呢？當y=1的時候，後面那一項是不是沒有了，那就只剩下x屬於1類的概率，當y=0的時候，第一項是不是沒有了，那就只剩下後面那個x屬於0的概率（1減去x屬於1的概率）。所以不管y是0還是1，上面得到的數，都是(x, y)出現的概率。那我們的整個樣本集，也就是n個獨立的樣本出現的似然函數爲（因爲每個樣本都是獨立的，所以n個樣本出現的概率就是他們各自出現的概率相乘）：
那最大似然法就是求模型中使得似然函數最大的係數取值θ*。這個最大似然就是我們的代價函數（cost function）了。
OK，那代價函數有了，我們下一步要做的就是優化求解了。我們先嚐試對上面的代價函數求導，看導數爲0的時候可不可以解出來，也就是有沒有解析解，有這個解的時候，就皆大歡喜了，一步到位。如果沒有就需要通過迭代了，耗時耗力。
我們先變換下L(θ)：取自然對數，然後化簡（不要看到一堆公式就害怕哦，很簡單的哦，只需要耐心一點點，自己動手推推就知道了。注：有xi的時候，表示它是第i個樣本，下面沒有做區分了，相信你的眼睛是雪亮的），得到：
這時候，用L(θ)對θ求導，得到：
然後我們令該導數爲0，你會很失望的發現，它無法解析求解。不信你就去嘗試一下。所以沒辦法了，只能藉助高大上的迭代來搞定了。這裏選用了經典的梯度下降算法。
二、優化求解
2.1、梯度下降(gradient descent)
Gradient descent 又叫 steepest descent，是利用一階的梯度信息找到函數局部最優解的一種方法，也是機器學習裏面最簡單最常用的一種優化方法。它的思想很簡單，和我開篇說的那樣，要找最小值，我只需要每一步都往下走（也就是每一步都可以讓代價函數小一點），然後不斷的走，那肯定能走到最小值的地方，例如下圖所示：
但，我同時也需要更快的到達最小值啊，怎麼辦呢？我們需要每一步都找下坡最快的地方，也就是每一步我走某個方向，都比走其他方法，要離最小值更近。而這個下坡最快的方向，就是梯度的負方向了。
對logistic Regression來說，梯度下降算法新鮮出爐，如下：
其中，參數α叫學習率，就是每一步走多遠，這個參數蠻關鍵的。如果設置的太多，那麼很容易就在最優值附加徘徊，因爲你步伐太大了。例如要從廣州到上海，但是你的一步的距離就是廣州到北京那麼遠，沒有半步的說法，自己能邁那麼大步，是幸運呢？還是不幸呢？事物總有兩面性嘛，它帶來的好處是能很快的從遠離最優值的地方回到最優值附近，只是在最優值附近的時候，它有心無力了。但如果設置的太小，那收斂速度就太慢了，向蝸牛一樣，雖然會落在最優的點，但是這速度如果是猴年馬月，我們也沒這耐心啊。所以有的改進就是在這個學習率這個地方下刀子的。我開始迭代是，學習率大，慢慢的接近最優值的時候，我的學習率變小就可以了。所謂採兩者之精華啊！這個優化具體見2.3 。
梯度下降算法的僞代碼如下：
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初始化迴歸係數爲1
重複下面步驟直到收斂{
計算整個數據集的梯度
使用alpha x gradient來更新迴歸係數
}
返回迴歸係數值
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注：因爲本文中是求解的Logit迴歸的代價函數是似然函數，需要最大化似然函數。所以我們要用的是梯度上升算法。但因爲其和梯度下降的原理是一樣的，只是一個是找最大值，一個是找最小值。找最大值的方向就是梯度的方向，最小值的方向就是梯度的負方向。不影響我們的說明，所以當時自己就忘了改過來了，謝謝評論下面@wxltt的指出。另外，最大似然可以通過取負對數，轉化爲求最小值。代碼裏面的註釋也是有誤的，寫的代碼是梯度上升，註銷成了梯度下降，對大家造成的不便，希望大家海涵。
2.2、隨機梯度下降SGD (stochastic gradient descent)
梯度下降算法在每次更新迴歸係數的時候都需要遍歷整個數據集（計算整個數據集的迴歸誤差），該方法對小數據集尚可。但當遇到有數十億樣本和成千上萬的特徵時，就有點力不從心了，它的計算複雜度太高。改進的方法是一次僅用一個樣本點（的迴歸誤差）來更新迴歸係數。這個方法叫隨機梯度下降算法。由於可以在新的樣本到來的時候對分類器進行增量的更新（假設我們已經在數據庫A上訓練好一個分類器h了，那新來一個樣本x。對非增量學習算法來說，我們需要把x和數據庫A混在一起，組成新的數據庫B，再重新訓練新的分類器。但對增量學習算法，我們只需要用新樣本x來更新已有分類器h的參數即可），所以它屬於在線學習算法。與在線學習相對應，一次處理整個數據集的叫“批處理”。
隨機梯度下降算法的僞代碼如下：
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初始化迴歸係數爲1
重複下面步驟直到收斂{
對數據集中每個樣本
計算該樣本的梯度
使用alpha xgradient來更新迴歸係數
}
返回迴歸係數值
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2.3、改進的隨機梯度下降
評價一個優化算法的優劣主要是看它是否收斂，也就是說參數是否達到穩定值，是否還會不斷的變化？收斂速度是否快？
上圖展示了隨機梯度下降算法在200次迭代中（請先看第三和第四節再回來看這裏。我們的數據庫有100個二維樣本，每個樣本都對係數調整一次，所以共有200*100=20000次調整）三個迴歸係數的變化過程。其中係數X2經過50次迭代就達到了穩定值。但係數X1和X0到100次迭代後穩定。而且可恨的是係數X1和X2還在很調皮的週期波動，迭代次數很大了，心還停不下來。產生這個現象的原因是存在一些無法正確分類的樣本點，也就是我們的數據集並非線性可分，但我們的logistic regression是線性分類模型，對非線性可分情況無能爲力。然而我們的優化程序並沒能意識到這些不正常的樣本點，還一視同仁的對待，調整係數去減少對這些樣本的分類誤差，從而導致了在每次迭代時引發係數的劇烈改變。對我們來說，我們期待算法能避免來回波動，從而快速穩定和收斂到某個值。
對隨機梯度下降算法，我們做兩處改進來避免上述的波動問題：
1）在每次迭代時，調整更新步長alpha的值。隨着迭代的進行，alpha越來越小，這會緩解係數的高頻波動（也就是每次迭代係數改變得太大，跳的跨度太大）。當然了，爲了避免alpha隨着迭代不斷減小到接近於0（這時候，係數幾乎沒有調整，那麼迭代也沒有意義了），我們約束alpha一定大於一個稍微大點的常數項，具體見代碼。
2）每次迭代，改變樣本的優化順序。也就是隨機選擇樣本來更新迴歸係數。這樣做可以減少週期性的波動，因爲樣本順序的改變，使得每次迭代不再形成週期性。
改進的隨機梯度下降算法的僞代碼如下：
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初始化迴歸係數爲1
重複下面步驟直到收斂{
對隨機遍歷的數據集中的每個樣本
隨着迭代的逐漸進行，減小alpha的值
計算該樣本的梯度
使用alpha x gradient來更新迴歸係數
}
返回迴歸係數值
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比較原始的隨機梯度下降和改進後的梯度下降，可以看到兩點不同：
1）係數不再出現週期性波動。2）係數可以很快的穩定下來，也就是快速收斂。這裏只迭代了20次就收斂了。而上面的隨機梯度下降需要迭代200次才能穩定。