關於不等式的證明可參考http://blog.csdn.net/qq_24641847/article/details/78744596
1. 利用不等式
bn+1−an+1>(n+1)an(b−a),b>a>0
證明 {(1+1n)n+1} 爲遞減數列
證明：
由
bn+1−an+1>(n+1)an(b−a)
可得
bn+1>[(n+1)(b−a)+a]an
設
b=1+1n;a=1+1n+1
可得
(1+1n)n+1>[(n+1)(1n−1n+1)+1+1n+1](1+1n+1)n
整理
(1+1n)n+1>(1+1n+1n+1)(1+1n+1)n
由於
1n−1n+1>1(n+1)2
帶入可得
(1+1n)n+1>(1+2n+1+1(n+1)2)(1+1n+1)n=(1+1n+1)2(1+1n+1)n
所以
(1+1n)n+1>(1+1n+1)n+2
所以數列
{(1+1n)n+1} 爲遞減數列
2. 利用不等式
bn+1−an+1<(n+1)bn(b−a),b>a>0
證明 {(1+1n)n} 爲遞增數列
證明：
由
bn+1−an+1<(n+1)bn(b−a)
可得
an+1>[(n+1)a−nb]bn
設
a=1+1n+1;b=1+1n
可得
(1+1n+1)n+1>[(n+1)(1+1n+1)−n(1+nn)](1+1n)n
整理可得
(1+1n+1)n+1>(1+1n)n
所以數列
{(1+1n)n} 爲增數列
其中我們通常用拉丁字母e代表{(1+1n)n} 的極限，即
limn→∞(1+1n)n=e
我們也可得
limn→∞(1+1n)n+1=limn→∞(1+1n)nlimn→∞(1+1n)=e∗1=e
