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矩阵的维度:行
× 列;
A 表示矩阵,
Aij 表示矩阵第
i 行第
j 列的元素。
向量是一种特殊矩阵,n×1 的矩阵:
y=⎡⎣⎢123⎤⎦⎥ 表示三维向量;
yi 表示向量y 的第i 个元素。
向量的表示包括0 索引法和1 索引法:
y=⎡⎣⎢y1y2y3⎤⎦⎥ 为1索引法,y=⎡⎣⎢y0y1y1⎤⎦⎥ 为0索引法,一般使用1索引法。
一般用大写字母表示矩阵,如A、B、C ;用小写字母表示向量,如a、x、y 。
相同维度的矩阵才能进行加、减运算。
矩阵与向量的乘法:
A×x=y
其中
A 为
m×n 矩阵,
x 为
n×1 矩阵即
n 维向量,
y 为
m 维向量,
yi 等于
A 的第
i 行元素乘以向量
x 的元素,然后相加:
⎡⎣⎢acebdf⎤⎦⎥∗[xy]=⎡⎣⎢a∗x+b∗yc∗x+d∗ye∗x+f∗y⎤⎦⎥
注:
A 的列数必须与
x 的行数相同。
矩阵间乘法:
A×B=C
其中,
A 为
m×n 矩阵,
B 为
n×o 矩阵,
C 为
m×o 矩阵,
C 的第
i 列是
A 乘以
B 的第
i 列,
Cij 等于
A 的第
i 行元素乘以
B 的第
j 列元素,然后相加:
⎡⎣⎢acebdf⎤⎦⎥∗[wyxz]=⎡⎣⎢a∗w+b∗yc∗w+d∗ye∗w+f∗ya∗x+b∗zc∗x+d∗ze∗x+f∗z⎤⎦⎥
注:
A 的列数必须与
B 的行数相同。
线性回归:Prediction=DataMatrix∗Parameters
预测值:⎡⎣⎢⎢⎢210414161534852⎤⎦⎥⎥⎥ ,三个假设函数:⎧⎩⎨hθ(x)=−40+0.25xhθ(x)=200+0.1xhθ(x)=−150+0.4x
求取hθ(x) :
⎡⎣⎢⎢⎢1111210414161534852⎤⎦⎥⎥⎥∗[−400.152000.1−1500.4]=⎡⎣⎢⎢⎢486314344173410342353285692416464191⎤⎦⎥⎥⎥
矩阵乘法原则:
A×B≠B×A(A×B)×C=A×(B×C)
单位矩阵:
I 或
In×n
例:
[1001]⎡⎣⎢100010001⎤⎦⎥
原则:
A⋅I=I⋅A=A(即:Am×n⋅In×n=Im×m⋅Am×n=Am×n)
逆矩阵:不是所有矩阵都有逆矩阵,只有m×m 的矩阵才有可能有逆矩阵,若有,表示为A−1 。
原则:AA−1=A−1A=I
在Octave 中,求矩阵A 的逆矩阵用pinv(A)
若矩阵不存在逆矩阵,称为奇异矩阵或退化矩阵。
转置矩阵:
A=[132509]AT=⎡⎣⎢120359⎤⎦⎥
A 是
m×n 矩阵,
B=AT ,则
B 是
n×m 矩阵,且
Bij=Aji
在
Octave 中,求矩阵
A 的转置矩阵用
A′