矩陣

英文名Matrix（矩陣）本意是子宮、母體、孕育生命的地方，同時，在數學名詞中，矩陣用來表示統計數據等方面的各種有關聯的數據。這個定義很好地解釋了Matrix代碼製造世界的數學邏輯基礎。
　　數學上，矩陣就是由方程組的係數及常數所構成的方陣。把用在解線性方程組上既方便，又直觀。例如對於方程組。
　　a1x+b1y+c1z=d1
　　a2x+b2y+c2z=d2
　　a3x+b3y+c3z=d3
　　來說，我們可以構成兩個矩陣：
　　a1b1c1a1b1c1d1
　　a2b2c2a2b2c2d2
　　a3b3c3a3b3c3d3
　　因爲這些數字是有規則地排列在一起，形狀像矩形，所以數學家們稱之爲矩陣，通過矩陣的變化，就可以得出方程組的解來。
　　矩陣這一具體概念是由19世紀英國數學家凱利首先提出並形成矩陣代數這一系統理論的。
　　數學上，一個m×n矩陣乃一m行n列的矩形陣列。矩陣由數組成，或更一般的，由某環中元素組成。
　　矩陣常見於線性代數、線性規劃、統計分析，以及組合數學等。請參考矩陣理論。

編輯本段矩陣圖法的涵義

　 　矩陣圖法就是從多維問題的事件中，找出成對的因素，排列成矩陣圖，然後根據矩陣圖來分析問題，確定關鍵點的方法，它是一種通過多因素綜合思考，探索問題 的好方法。 在複雜的質量問題中，往往存在許多成對的質量因素．將這些成對因素找出來，分別排列成行和列，其交點就是其相互關聯的程度，在此基礎上再找出存在的問題及 問題的形態，從而找到解決問題的思路。 短陣圖的形式如圖所示，A 爲某一個因素羣，a1、a2、a3、a4、…是屬於A這個因素羣的具體因素，將它們排列成行；B爲另一個因素羣，b1、b2、b3、b4、…爲屬於B這個 因素羣的具體因素，將它們排列成列；行和列的交點表示A和B各因素之間的關係。按照交點上行和列因素是否相關聯及其關聯程度的大小，可以探索問題的所在和 問題的形態，也可以從中得到解決問題的啓示等。 質量管理中所使用的矩陣圖，其成對因素往往是要着重分析的質量問題的兩個側面，如生產過程中出現了不合格品時，着重需要分析不合格的現象和不合格的原因之 間的關係，爲此，需要把所有缺陷形式和造成這些缺陷的原因都羅列出來，逐一分析具體現象與具體原因之間的關係，這些具體現象和具體原因分別構成矩陣圖中的 行元素和列元素。 矩陣圖的最大優點在於，尋找對應元素的交點很方便，而且不遺漏，顯示對應元素的關係也很清楚。矩陣圖法還具有以下幾個點： ①可用於分析成對的影響因素； ②因素之間的關係清晰明瞭，便於確定重點； ③便於與系統圖結合使用。 二、矩陣圖法的用途 矩陣圖法的用途十分廣泛．在質量管理中．常用矩陣圖法解決以下問題： ①把系列產品的硬件功能和軟件功能相對應，並要從中找出研製新產品或改進老產品的切入點； ②明確應保證的產品質量特性及其與管理機構或保證部門的關係，使質量保證體制更可靠； ③明確產品的質量特性與試驗測定項目、試驗測定儀器之間的關係，力求強化質量評價體制或使之提高效率； ④當生產工序中存在多種不良現象，且它們具有若干個共同的原因時，希望搞清這些不良現象及其產生原因的相互關係，進而把這些不良現象一舉消除； ⑤在進行多變量分析、研究從何處入手以及以什麼方式收集數據。 三、矩陣圖的類型 矩陣圖法在應用上的一個重要特徵，就是把應該分析的對象表示在適當的矩陣圖上。因此，可以把若干種矩陣圖進行分類，表示出他們的形狀，按對象選擇並靈活運 用適當的矩陣圖形。常見的矩陣圖有以下幾種： (1)L型矩陣圖。是把一對現象用以矩陣的行和列排列的二元表的形式來表達的一種矩陣圖，它適用於若干目的與手段的對應關係，或若干結果和原因之間的關 系。 (2)T型矩陣圖。是A、B兩因素的L型矩陣和A、c兩因素的L型矩陣圖的組合矩陣圖，這種矩陣圖可以用於分析質量問題中“不良現象一原因一工序”之間的 關係，也可以用於分析探索材料新用途的“材料成分一特性一用途”之間酌關係等。 (3)Y型矩陣圖。是把A因素與B因素、B因素與C因素、C因素與A因素三個L型矩陣圖組合在一起而形成的矩陣圖。 (4) X型矩陣圖。是把A因素與B因素、B因素與C因素、C因素與D因素、D因素與A因素四個L型矩陣圖組合而形成的矩陣圖，這種矩陣圖表示A和B、D，D和 A、C，C和B、D，D和A、C這四對因素間的相互關係，如“管理機能一管理項目一輸入信息一輸出信息”就屬於這種類型。 （5)C型矩陣圖。是以A、B、C三因素爲邊做出的六面體，其特徵是以A、B、c三因素所確定的三維空間上的點爲“着眼點”。 四、製作矩陣圖的步驟 製作矩陣圖一般要遵循以下幾個步驟： ①列出質量因素： ②把成對對因素排列成行和列，表示其對應關係； ③選擇合適的矩陣圖類型； ④在成對因素交點處表示其關係程度，一般憑經驗進行定性判斷，可分爲三種：關係密切、關係較密切、關係一般（或可能有關係)，並用不同符號表示； ⑤根據關係程度確定必須控制的重點因素； ⑥針對重點因素作對策表。

編輯本段歷史

　　矩陣的研究歷史悠久，拉丁方陣和幻方在史前年代已有人研究。
　　作爲解決線性方程的工具，矩陣也有不短的歷史。1693年，微積分的發現者之一戈特弗裏德•威廉•萊布尼茨建立了行列式論(theory of determinants)。1750年，加布里爾•克拉默其後又定下了克拉默法則。1800年代，高斯和威廉•若爾當建立了高斯—若爾當消去法。
　　1848年詹姆斯•約瑟夫•西爾維斯特首先創出matrix一詞。研究過矩陣論的著名數學家有凱萊、威廉•盧雲•哈密頓、格拉斯曼、弗羅貝尼烏斯和馮•諾伊曼。

編輯本段定義和相關符號

　　以下是一個 4 × 3 矩陣：
　　某矩陣 A 的第 i 行第 j 列，或 i,j位，通常記爲 A[i,j]　或 Ai,j。在上述例子中 A[2,3]=7。
　　在C語言中，亦以 A[j] 表達。(值得注意的是,與一般矩陣的算法不同,在C中,"行"和"列"都是從0開始算起的)
　　此外 A = (aij)，意爲 A[i,j] = aij 對於所有 i 及 j，常見於數學著作中。
　　一般環上構作的矩陣
　　給出一環 R，M(m,n, R) 是所有由 R 中元素排成的 m× n 矩陣的集合。若 m=n，則通常記以 M(n,R)。這些矩陣可加可乘 (請看下面)，故 M(n,R) 本身是一個環，而此環與左 R 模 Rn 的自同態環同構。
　　若 R 可置換， 則 M(n, R) 爲一帶單位元的 R-代數。其上可以萊布尼茨公式定義 行列式：一個矩陣可逆當且僅當其行列式在 R 內可逆。
　　在維基百科內，除特別指出，一個矩陣多是實數矩陣或虛數矩陣。
　　分塊矩陣
　　分塊矩陣 是指一個大矩陣分割成“矩陣的矩陣”。舉例，以下的矩陣
　　可分割成 4 個 2×2 的矩陣。
　　此法可用於簡化運算，簡化數學證明，以及一些電腦應用如VLSI芯片設計等。

編輯本段特殊矩陣類別

　　對稱矩陣是相對其主對角線（由左上至右下）對稱, 即是 ai,j=aj,i。
　　埃爾米特矩陣（或自共軛矩陣）是相對其主對角線以複共軛方式對稱, 即是 ai,j=a*j,i。
　　特普利茨矩陣在任意對角線上所有元素相對, 是 ai,j=ai+1,j+1。
　　隨機矩陣所有列都是概率向量, 用於馬爾可夫鏈。

編輯本段矩陣運算

　　給出 m×n 矩陣 A 和 B，可定義它們的和 A + B 爲一 m×n 矩陣，等 i,j 項爲 (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j]。舉例：
　　另類加法可見於矩陣加法.
　　若給出一矩陣 A 及一數字 c，可定義標量積 cA，其中 (cA)[i, j] = cA[i, j]。 例如
　　這兩種運算令 M(m, n, R) 成爲一實數線性空間，維數是mn.
　　若一矩陣的列數與另一矩陣的行數相等，則可定義這兩個矩陣的乘積。如 A 是 m×n 矩陣和 B 是 n×p矩陣，它們是乘積 AB 是一個 m×p 矩陣，其中
　　(AB)[i, j] = A[i, 1] * B[1, j] + A[i, 2] * B[2, j] + ... + A[i, n] * B[n, j] 對所有 i 及 j。
　　例如
　　此乘法有如下性質：
　　(AB)C = A(BC) 對所有 k×m 矩陣 A, m×n 矩陣 B 及 n×p 矩陣 C ("結合律").
　　(A + B)C = AC + BC 對所有 m×n 矩陣 A 及 B 和 n×k 矩陣 C ("分配律")。
　　C(A + B) = CA + CB 對所有 m×n 矩陣 A 及 B 和 k×m 矩陣 C ("分配律")。
　　要注意的是：可置換性不一定成立，即有矩陣 A 及 B 使得 AB ≠ BA。
　　對其他特殊乘法，見矩陣乘法。

編輯本段其他性質

　　線性變換，秩，轉置
　　矩陣是線性變換的便利表達法，皆因矩陣乘法與及線性變換的合成有以下的連繫：
　　以 Rn 表示 n×1 矩陣（即長度爲n的矢量）。對每個線性變換 f : Rn -> Rm 都存在唯一 m×n 矩陣 A 使得 f(x) = Ax 對所有 x ∈ Rn。 這矩陣 A "代表了" 線性變換 f。 今另有 k×m 矩陣 B 代表線性變換 g : Rm -> Rk，則矩陣積 BA 代表了線性變換 g o f。
　　矩陣 A 代表的線性代數的映像的維數稱爲 A 的矩陣秩。矩陣秩亦是 A 的行（或列）生成空間的維數。
　　m×n矩陣 A 的轉置是由行列交換角式生成的 n×m 矩陣 Atr （亦紀作 AT 或 tA），即 Atr[i, j] = A[j, i] 對所有 i and j。若 A 代表某一線性變換則 Atr 表示其對偶算子。轉置有以下特性：
　　(A + B)tr = Atr + Btr，(AB)tr = BtrAtr。

編輯本段註記

　　矩陣可看成二階張量， 因此張量可以認爲是矩陣和向量的一種自然推廣。
　　矩陣（設備）
　　矩陣是監控系統中的模擬設備，主要負責對前端視頻源與控制線的切換控制，舉個例子，如果你有 70個攝像機，可是隻有7臺監視器，那麼矩陣可以讓你的任何一臺監視器顯示出任意組合的10個畫面。簡短地說，矩陣主機主要是配合電視牆使用，完成畫面切 換的功能。但是常見的矩陣一般輸入（接攝像機）是16的倍數，輸出（接監視器）是4的倍數；美國AD矩陣是視頻切換矩陣的鼻祖，業界第一臺視頻切換矩陣就 出自AD，到目前爲止，市場上的模擬視頻切換矩陣基本上還是參照AD矩陣的電路設計和架構。像深圳安星數字系統有限公司生產的視頻切換矩陣，一塊輸入板也 是16路輸入，一塊輸出板是4路輸出，採用和AD相同的架構，模塊化設計，可自由方便的通過增加或減少矩陣板來實際不同的容量。
　　安星矩陣已經不只是單純的切換圖像那麼簡單了，還可以通過附件擴展設備來實現控制雲臺轉動和鏡頭變焦，連接探頭實現報警聯動，增加網絡模塊來實現矩陣輕鬆多級遠程互聯，實現數模結合監控，真正做到不受時間，地點限制的安防自動化控制，成爲監控系統中最核心設備！