[BZOJ 3884] 上帝與集合的正確用法【歐拉定理/初等數論】

[Description]求值

[Solution]
不要被無限個2嚇到了，這一題有一些有趣的性質可以發掘的。
這裏介紹兩個解法。

· Solution 1

我們溫習一下歐拉定理：

和它的推廣：

我們發現，這題的n,p並不一定互素啊，怎麼辦呢？我們可以讓他們強行互素。
利用公式：

我們把原題中的p分爲2^k+y
所以原式化爲

此時y是奇數，和指數互質了！然後就可以愉快地使用歐拉定理–原式化爲

我們發現中間的指數一部分又與原問題相似，於是想到可以遞歸求解。
那邊界是什麼呢？我們發現，phi(y)會不斷縮小，而且每次至少會除去一個2，所以遞歸的深度最多爲log2(p),當y=1時，返回0即可。

需要事先篩好phi值或者直接需要的時候根號時間計算求解。

複雜度O(p+log2(p))–線性篩/O(log2(p)*sqrt(p))–直接計算。
實踐過程中第二種方法遠遠快於第一種。

· Solution 2

還是根據公式

設答案爲f(p),有

同樣遞歸求解即可，複雜度同第一個解。

[Code]

給出兩種解法的代碼，第一種用的線性篩，第二種直接求解。

· Code 1

#include<cstdio>

typedef long long ll;
const int maxn=10000001;

int phi[maxn]={0,1};
void MakePhiList(){
    for(int i=2;i<maxn;i++) if(!phi[i])
    for(int j=i;j<maxn;j+=i){
        if(!phi[j]) phi[j]=j;
        phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
    }
}

ll pow(ll a,int n,int p){
    ll ans=1;
    while(n) {
    if(n&1) ans=ans*a%p;
    a=a*a%p; n>>=1;
    }
    return ans;
}


ll f(int x){
    if(x==1) return 0;
    int k=0; while(!(x%2)) x/=2,k++;
    return pow(2,(f(phi[x])%phi[x]-k%phi[x]+phi[x])%phi[x]+phi[x],x)<<k;
}

int main(){
    MakePhiList();
    int kase; scanf("%d",&kase);
    while(kase--){
    int x; scanf("%d",&x);
    printf("%lld\n",f(x));
    }
    return 0;
}

· Code 2

#include<cmath>
#include<cstdio>

typedef long long ll;

int Phi(int x){
    int ans=x;
    for(int i=2,lim=sqrt(x)+1;i<lim;i++) if(!(x%i)){
        ans-=ans/i;
        while(!(x%i)) x/=i;
    }
    return x>1?ans-ans/x:ans;
}

ll pow(ll a,ll n,ll p){
    ll ans=1;
    while(n){
    if(n&1) ans=ans*a%p;
    a=a*a%p; n>>=1;
    }
    return ans;
}

ll f(int x){
    if(x==1) return 0;
    int phi=Phi(x);
    return pow(2,f(phi)+phi,x);
}

int main(){
    int kase; scanf("%d",&kase);
    while(kase--){
    int x; scanf("%d",&x);
    printf("%lld\n",f(x));
    }
    return 0;
}