哈希專題算是我學的最比較好的專題之一了…感覺。
我把哈希的操作籠統地總結爲，你有很多東西，然後你要get一件新的東西，你需要判斷有沒有這件東西，然後你再拿下它。
而哈希的核心問題就集中在如何判斷上面。
先拋開這個問題，我們想另外一件事，哈希可以用來做什麼。最簡單地，可以用來判重。而依我的最近刷的題加以理解，哈希既可以用來幫助狀態記錄，也可以用來減少枚舉量。
回到開始的問題，怎樣判重。我覺得，所有的哈希都無異於設一個集合，往裏面及元素罷了。而最簡單的方式就是開一個數組（即桶），記錄正整數元素出現的有無。而對於其他類型的元素，我們可以用到一些數據結構比如哈希樹，甚至STL中的map，set等。
我們來討論各個方式的優劣。開數組無疑是最快捷的，然而它的缺點也同樣明顯，對於沒有出現過的元素，它仍然要開闢同樣大的內存，導致空間開銷很吃緊，優點是時間調用很快；對於樹，代碼實現稍顯繁瑣，而空間複雜度與出現元素個數成正比，但查詢速度略差於數組；下面重點談下STL_map的優缺點：在等同的情況下，map的時空複雜度無疑是佔劣勢的，而在時空寬裕的情況下，它的優勢就同樣顯現出來了。Map對未出現的元素並不開闢空間，這也就意味着，在某些情況下，map的空間甚至可以達到更優。而在另一些情況下，map的時間（並不是時間複雜度）也會達到更優，如對string處理的時間優於一般的字符串處理。另外兩個顯而易見的優點，一是可以做到0衝突，二是實現起來也和數組一樣方便。所以，我們並不能一味地排斥STL,選擇更優的算法而不是更高端的算法。
話說回來，我們要考慮如何將現有的參量轉化爲可記錄在集合（Hash表）中的元素，暫且列舉常見的幾大類（其實大都可以用map，下面不再另外進行討論）：
大整數 直接對大素數取餘 狀態 常見於廣搜問題中(如八數碼/立體八數碼(UVa 1604))，可以把狀態轉化爲大整數
字符串 轉化爲多進制數 特殊整數_全排列 康拓展開及其逆運算
不難發現，最方便的方法其實都是將元素轉化爲易於處理的數字。而這帶來一個很大的問題，數字一大，數組下標不夠用了怎麼辦呢—-前面已經提到，可以取模。而取了模，不同的元素有可能會具有相同的哈希值，這時候我們就需要一些技術，類如開放尋址和拉鍊。另外在空間允許的情況下，可以在相同的哈希位值上開放更多的“輔助數組”，記錄更多的元素特徵以防止衝突。如[POJ2000 Squares]，由一條對角線確定一個正方形，兩點確定一條直線，可以記錄對角線的頂點的座標來判斷衝突。同時也要注意，輔助數組並不是多多益善，最好用盡量少的特徵來描述狀態，如這題，由|x|,|y|<20000，我們可以把一個頂點的座標記錄在一個int上，把y累在x之後，即point=x*100000+y[ (23333,6666)->233336666]，當然要注意負數的處理。這樣，可以將四個輔助數組縮減到兩個。
可見，哈希的主要難點集中在空間和時間的優劣上，事實上，很多哈希題目在暴力情況下的時間和空間是有衝突的，即兩點只能取其一，所以需要一些解決辦法。某些情況下，改變枚舉方式可達到空間時間更優。簡單的如[POJ 1840 Eqs],另外如[CodeVS1306廣播操的遊戲]，使用map，若把所有子串直接push進去直接MLE，而如果每次分別枚舉相同長的子串，分別進行哈希，不但可以減少枚舉量，每個長度for完後對map進行clear，因爲並不會和之後的相同了，還使得空間複雜度降低。
最後再講一個例子來說明好的枚舉也可以有利於哈希:[POJ 1971 Parallelogram Counting].這一題，有種做法枚舉3個點確定2條邊，由這2條邊確定第4的點，再用Hash判斷是否存在，但是O(n^3)絕對TLE。後來想到，由平行四邊形對角線相互平分，即兩條中點相同的線段確定一個平行四邊形，只要枚舉兩點，並記錄他們的中點，再Hash搜索這個中點是否出現過就可以進行計數了。
由此看來，哈希只是一種手段，運用到題目中是很考驗想法的。哈希處理最大的難處可能並不在與時間，空間可能出現更大的問題。所以，儘量用精煉的信息代表狀態，必要時還需保留逆運算。在空間允許的條件下，儘量避免衝突。
以上，最後祝大家Hash Hash 愉快—–
2105.5.17
By Foggy