HDU 5781 ATM Mechine（數學期望+dp）

自動取款機

問題描述

Alice打算從自動取款機上取出她的所有存款。但是她忘了自己有多少存款了，她只知道存款不超過k塊錢。
但是這臺取款機很奇怪，它不支持餘額查詢功能，Alice只能通過多次嘗試的方式取錢。每次嘗試，Alice輸入一個提取金額y，若賬戶餘額>=y,取款機會立即吐出y塊錢。若餘額 < y，取款機會發出警告。如果取款機發出了w次警告，它會認爲Alice在故意搗亂，就會立即把卡吞掉。

請你幫忙計算，在不被吞卡的情況下，期望多少次就能取出所有的錢？

輸入格式

有5組數據

對於每組數據，只有一行, 兩個整數 k和w.

輸出格式

五行，每行對應一組數據的結果，只有一個數字,表示問題的答案，保留6個小數位。

樣例輸入 1

1 1
4 2
20 3
10 6
123 7

樣例輸出 1

1.000000
2.400000
4.523810
3.545455
6.967742

樣例輸入 2

322 6
1193 10
926 7
335 3
253 2

樣例輸出 2

8.445820
10.284757
9.907228
10.747024
15.937008

提示

對於100%的數據, 1≤K,W≤2000

---

令F[i][j]$F[i][j]$ 表示錢數不超過i$i$ ，再被j$j$ 次警告就會GG，那麼考慮這一次取多少錢，有

F[i][j]=min(i+1−ki+1F[i−k][j]+ki+1F[k−1][j−1]+1)$$F[i][j]=min(\frac{i+1-k}{i+1}F[i-k][j]+\frac{k}{i+1}F[k-1][j-1]+1)$$

由於實際錢數是一個隨機變量，那麼有i+1−ki+1$\frac{i+1-k}{i+1}$ 的概率實際錢數大於等於k$k$ 使得取錢成功，有ki+1$\frac{k}{i+1}$ 的概率被警告，無論如何錢數的上界都會縮小。

直接這樣dp是O(n3)$O(n^3)$ 的，但是注意到如果w$w$ 足夠大，那麼是可以二分得到最優答案的。因此當w>log2k$w>{\log }_{2}k$ 之後，F[i][w]$F[i][w]$ 是不變的。因此第二維只需要算到12$12$ 就差不多了。複雜度O(n2)$O(n^2)$

---

代碼：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define N 2005
using namespace std;
int k,w;
double F[N][N];
int main()
{
    int i,j,x;
    for(i=1;i<N;i++)F[i][1]=1.0*F[i-1][1]*i/(i+1)+1.0;
    for(i=1;i<N;i++)F[1][i]=1.0;
    for(i=2;i<N;i++)
    for(j=2;j<14;j++)
    {
        F[i][j]=1e9;
        for(x=1;x<=i;x++)F[i][j]=min(1.0*F[i-x][j]*(i+1-x)/(i+1)+1.0*F[x-1][j-1]*x/(i+1)+1.0,F[i][j]);
    }
    for(i=1;i<=5;i++)
    {
        scanf("%d%d",&k,&w);w=min(w,13);
        printf("%.6lf\n",F[k][w]);
    }
}