1012. 增長率問題
Description
有一個數列，它是由自然數組成的，並且嚴格單調上升。最小的數不小於S，最大的不超過T。現在知道這個數列有一個性質：後一個數相對於前一個數的增長率總是百分比下的整數（如5相對於4的增長率是25%，25爲整數；而9對7就不行了）。現在問：這個數列最長可以有多長？滿足最長要求的數列有多少個？
Input Format
輸入僅有一行，包含S和T兩個數（ 0<S<T≤200000 ）。
30%的數據，0<S<T≤100 ；
100%的數據，0<S<T≤200000 。
Output Format
輸出有2行。第一行包含一個數表示長度，第二行包含一個數表示個數。
Sample Input
2 10
Sample Output
5 2
樣例解釋
2 4 5 6 9以及2 4 5 8 10
因爲最近經常接觸動態規劃，所以一下感覺應該是dp題目，dp基於這樣的假設，對於第i個元素，以第
i個元素結尾的滿足要求的最長數列a，以該數列倒數第二個元素結尾的最長數列就是a除掉第i個元素，這樣講有點模糊，我們不妨從歸納的思想考慮，如何減小問題的規模爲n-1？
假設我們對於前n-1個元素都知道以其爲結尾的最長數列，那麼對於第n個元素，我們只要依次和前n-1個元素比較，是否符合題目要求，如果符合，那麼第n個元素可以作爲新的結尾接上去，找到這些新的數列中長度最長的，代碼如下：
#include "stdio.h"
#include "string.h"
#include <string>
typedef long long ll;
int main()
{
int min,max;
int max_ans=0;
ll max_count=0;
scanf("%d%d",&min,&max);
int* result=new int[max+1];
ll* count=new ll[max+1];
for(int i=min;i<max+1;i++)
{
result[i]=1;
count[i]=1;
}
for(int i=min+1;i<=max;i++)
{
for(int j=min;j<i;j++)
{
if(((i-j)*100)%j==0)
{
if(result[i]<result[j]+1)
{
result[i]=result[j]+1;
count[i]=count[j];
}
else if(result[i]==result[j]+1)
{
count[i]+=count[j];
}
if(max_ans<result[j]+1)
{
max_ans=result[j]+1;
max_count=count[j];
}
else if(max_ans==result[j]+1)
{
max_count+=count[j];
}
}
}
}
printf("%d\n%d\n",max_ans,max_count);
return 0;
}
但是會超時，很顯然這是一個O(n2)的算法，對於1-200000這種數據跑不出來，時間長，網上看到另外一個很好的解法，
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=200007;
int d[maxn];
ll cnt[maxn],time[maxn];
int main()
{
int s,t;
scanf("%d%d",&s,&t);
{
memset(cnt,0,sizeof(cnt));
int i,j,tmp,ans=1;
cnt[1]=t-s+1;
for(i=s;i<=t;i++)
{
d[i]=time[i]=1;
}
for(i=s;i<=t;i++)
{
for(j=1;j<=100;j++)
{
if( (i*j)%100 == 0)
{
tmp=i + i*j/100;
if(tmp<=t)
{
if(d[i]+1>d[tmp])
{
d[tmp]=d[i]+1;
time[tmp] = time[i];
}
else if(d[i]+1==d[tmp])
{
time[tmp] += time[i];
}
ans = max(ans,d[tmp]);
cnt[d[i]+1] += time[i];
}
}
}
}
printf("%d\n%lld\n",ans,cnt[ans]);
}
return 0;
}
思想不變，但是現在不是盲目的從當前數以前的所有數掃描，而是從逆向的思維考慮，我直接找到符合要求的這些數，對於不符合要求的數我不用考慮，這裏原解法給到j=200，就是考慮到3i，這裏我思考過，發現只要考慮到2i，即j=100即可，爲什麼呢？我們可以這樣想，對於3i，其可以....i，2i，3i，這個解顯然比...i，3i更優，而且可以驗證對於2i到3i之間的數，都可以用i到2i之間的數構造更優的解，所以最多只需要考慮到2i，那麼一定要考慮到2i嗎？從理論上可能比較難想清楚，但是可以舉一個實例驗證，比如以2爲開頭，那麼以4爲結尾的數列最長爲2，4，而4爲2的兩倍，所以如果小於2i，會出現錯誤，100恰到好處。
所以問題從O（n2）的複雜度壓縮到O（n），多思考，多發現問題！