動態規劃之0-1揹包問題

首先是問題描述：給定n種物品和一揹包，物品i的重量是wi，其價值是pi，揹包的容量是M，問如何選擇裝入揹包中的物品總價值最大？

可以這樣理解：揹包的揹負有上限，因此在這個上限內儘可能多的裝東西，並且價值越多越好。

在這裏我之想討論動態規劃解決這個問題的詳細過程。

動態規劃是用空間換時間的一種方法的抽象。其關鍵是發現子問題和記錄其結果。然後利用這些結果減輕運算量。因爲揹包的最終最大容量未知，所以，我們得從1到M一個一個的試，比如，剛開始任選N件物品中的一個，看對應的M的揹包，能不能放進去，如果能放進去，並且還有多少空間，則，多出來的空間能放N-1物品中的最大價值，怎麼能保證總選則是最大價值呢，看下錶：
測試數據：
10,3
3,4
4,5
5,6

c[i][j]數組保存了1,2,3號物品依次選擇後的最大價值.

這個最大價值是怎麼得來的呢?從揹包容量爲0開始,1號物品先試,0,1,2,的容量都不能放.所以置0,揹包容量爲3則裏面放4.這樣,這一排揹包容量爲4,5,6,....10的時候，最佳方案都是放4.假如1號物品放入揹包.則再看2號物品.當揹包容量爲3的時候，最佳方案還是上一排的最價方案c爲4.而揹包容量爲5的時候，則最佳方案爲自己的重量5.揹包容量爲7的時候，很顯然是5加上一個值了。加誰??很顯然是7-4=3的時候.上一排c3的最佳方案是4.所以。總的最佳方案是5+4爲9.這樣.一排一排推下去。最右下放的數據就是最大的價值了。(注意第3排的揹包容量爲7的時候,最佳方案不是本身的6.而是上一排的9.說明這時候3號物品沒有被選.選的是1,2號物品.所以得9.

從以上最大價值的構造過程中可以看出。

f(n,m)=max{f(n-1,m),f(n-1,m-w[n])+P(n,m)}這就是書本上寫的動態規劃方程.

下面是一種實現過程：（C語言描述）

#include<stdio.h>
intc[10][100];
intknapsack(intm,intn)
{
inti,j,w[10],p[10];
for(i=1;i<n+1;i++)
scanf("\n%d,%d",&w[i],&p[i]);
for(i=0;i<10;i++)
for(j=0;j<100;j++)
c[i][j]=0;
for(i=1;i<n+1;i++)
for(j=1;j<m+1;j++)
{
if(w[i]<=j){
if(p[i]+c[i-1][j-w[i]]>c[i-1][j])
c[i][j]=p[i]+c[i-1][j-w[i]];
else
c[i][j]=c[i-1][j];
}else

c[i][j]=c[i-1][j];
}
return(c[n][m]);
}
intmain()
{
intm,n;inti,j;

printf("inputthemaxcapacityandthenumberofthegoods:\n");
scanf("%d,%d",&m,&n);
printf("Inputeachone(weightandvalue):\n");
printf("%d",knapsack(m,n));
printf("\n");
for(i=0;i<10;i++)
for(j=0;j<15;j++)
{
printf("%d",c[i][j]);
if(j==14)printf("\n");
}
system("pause");
}