最長迴文子序列

在今年元旦，買了《算法導論》第三版，其實早在它還沒有出版的時候，我就已經關注了，哈哈，於是就迫不及待地讀了起來，儘管是在考試周。不過之後擱置了一段時間，這個月又開始讀起來了。看到課後思考題15-2，231頁，就寫了一下。最長迴文子序列，其具體問題如下：

迴文是正序與逆序相同的非空字符，像civic,racecar等，還包括長度是1的字符串。求給定輸入字符串的最長迴文子序列。例如，給定輸入character，算法返回carac。

假如給定字符是string,其長度爲n，設定指針i、j分別指向string的頭和尾，即是0<=i<j<n,初始時i=0，j=n-1。

解決方法如下：從字符串末尾開始判斷是否有字符與當前指針i指向的string[i]相等，即判斷string[i]與string[j]是否相等：

1. 如果不相等，則指針j向前挪一位，即j=j-1,直到j>=i，此時還不相等，則i向後移動，即i=i+1,該過程中始終保持i<j
2. 如果某位置的string[i]與string[j]相等，則參照公式，公式中遞歸定義了子問題的解:

p[i,j] = 1,如果j-i<2，又因爲j>i,也就是j-i=1;

p[i,j] = 3,如果j-i=2;

p[i,j] = p[i+1,j-1]+2,如果j-i>2;

其中p[i,j]表示字符串string中以第i個字符開始、第j個字符結束的串的最長迴文子序列長度，當j-i=1時，說明字符串中只有兩個字符，而這兩個字符又相等，明顯p[i,j]應該爲1；當j-i=2時，說明字符串有3個字符，兩個相等的字符中夾了一個其他字符，明顯p[i,j]也爲2+1=3；當j-i>2時，則利用子問題的解來遞歸定義此時問題的解。

其實，這個問題使用了動態規劃的解題方法，找出問題的最優子結構性質，在利用子問題來遞歸定義原問題（使用子問題來表示原問題的解），把解決原問題的解建立在子問題的基礎之上。

在實現動態規劃的算法時，通常有2種實現思路，一是自底向上，也就是先求解小的子問題，然後慢慢擴大子問題的規模再求解，而求解規模較大的子問題時有需要使用到規模較小的子問題，所以說是自底向上，不過要仔細考慮具體實現時的順序；而是帶備忘的自定向下的遞歸方法，與一般遞歸方法不同的是，如果不用重複求解已經解過的子問題，只要直接查表即可。

其中在求解最優化問題的時候，通常涉及到構造最優解，此處是使用數組mark記錄下在比較過程中相等字符的位置，分別是i，j。

實現代碼如下，這是帶備忘的自定向下的遞歸實現：

#include <string>
using namespace std;

size_t huiwen_length(string &x,size_t i,size_t j);
void print_huiwen(string &x,size_t * mark);

size_t p[20][20];
size_t mark[20];
void main(int argc, char **argv){
    string x("tccaivic");
    huiwen_length(x,0,x.size()-1);
    print_huiwen(x,mark);
}

size_t huiwen_length(string &x,size_t i,size_t j){
    if (p[i][j]>0)
    {
        return p[i][j];
    }

    for (size_t begin=i,end=j;i<j;i++,j=end;)
    {
        for (;i<j;)
        {
            if (x[i]==x[j])
            {
                if (j-i>2)//j-i>2
                {
                    p[begin][end]=huiwen_length(x,i+1,j-1)+2;//p[i][j] = p[i+1][j-1]+2;

                }else if (j-i==2)//j-i==2相當於相等的2個元素之間夾了一個元素
                {
                    p[begin][end]=3;
                    mark[i+1]=1;//設置夾了那個
                    //return 3;//p[i][j]=3;
                }else {//0<j-i<2,即是j-i==1
                    p[begin][end]=2;
                    //return 2;//p[i][j]=2;
                }
                mark[i]=1;
                mark[j]=1;
                return p[begin][end];
            }else{
                j--;
            }
        }
    }
    return 0;
}

void print_huiwen(string &x,size_t * mark){
    cout<<"huiwen of "<<x<<":";
    for (size_t i=0;i<x.size();i++)
    {
        if (mark[i]==1)
        {
            cout<<x[i];
        }
    }
    cout<<endl;
}

動態規劃適用於求解最優化問題，掌握了該方法可以更好地增強自己的算法能力。