求最大子序列和

問題：給定整數序列S[0]，S[1]，... S[N-1]，子序列和是指S[i]+S[i+1]+...+S[j-2]+S[j-1]，其中i,j, 0<= i <= j <= N-1，求所有這樣的子序列和的最大值，即最大子序列和。

方法一：枚舉法 O(N^2)

求出所有的子序列和，取其最大值。算法複雜度爲O(N^2)。

int maxSubSeq1(int a[], int len) 
{ 
	int maxSum;
	int i, j;

	if (len <= 0)	return MIN_INT; /* MIN_INT可取足夠小的整數 */

	maxSum = a[0];
	for (i = 0; i < len; ++i) { 
		int thisSum = 0;
		for (j = i; j < len; ++j) {
			thisSum += a[j];
			maxSum = (thisSum > maxSum ? thisSum : maxSum);
		}
	} 
	return maxSum; 
}

方法二：動態規劃 O(N)

這個問題可以採用動態規劃來解答。假設對N個數的序列S[0…N-1]，最大子序列和爲F(N)，令M(N)爲包含S[N-1]的最大子序列和。當已求得F(N-1)時，考慮S[N-1]，最大子序列可能有以下兩種情況，一是包括S[N-1]，一是不包括S[N-1]。不包括S[N-1]時，F(N) = F(N-1)；包括S[N-1]時，F(N) = M(N)。

所以 F(N) = max{ F(N-1), M(N) }。

現在的問題就剩下求M(N)了，而 M(N) = max{ M(N-1)+S[N-1], S[N-1] }

即，M(N) = (M(N) > 0 ? (M(N) + S[N-1]) : S[N-1]);

算法複雜度爲O(N)

int maxSubSeq2(int a[], int len)
{
	int maxSum, lastMaxSum;
	int i;

	if (len < 0)	reutrn MIN_INT; /* MIN_INT可取足夠小的整數 */
	maxSum = a[0];
	lastMaxSum = a[0];
	for (i = 1; i < len; ++i) {
		lastMaxSum = (lastMaxSum > 0 ? lastMaxSum + a[i] : a[i]);
		maxSum = (lastMaxSum > maxSum ? lastMaxSum : maxSum);
	}
	return maxSum;
}