HDU2524-矩形A + B

Problem Description

給你一個高爲n ，寬爲m列的網格，計算出這個網格中有多少個矩形

Input

第一行輸入一個t, 表示有t組數據，然後每行輸入n,m,分別表示網格的高和寬 ( n < 100 , m < 100).

Output

每行輸出網格中有多少個矩形.

Sample Input

2
1 2
2 4

Sample Output

3
30

題解

思路一

我們假設網格是1行m列的，那麼總的矩形數目 = m(1*1的矩形) + m-1(1*2的矩形) + m-2(1*3的矩形) +…+1(1*m的矩形) = $\frac{m * (m + 1)}{2}$ ，同理n行1列總的矩形數目是 $\frac{n * (n + 1)}{2}$ . 對於 $n * m$ 的網格，我們可以先確定好選取的行數（即確定矩形的高），共有 $\frac{n * (n + 1)}{2}$ 種選法，選好以後就可以壓縮成1行m列的網格來考慮了，因此總共 $\frac{n * (n + 1)}{2} * \frac{m * (m + 1)}{2}$ 個矩形。

思路二

動態規劃，假設dp[i][j]表示以第 i 行第 j 列的格子爲右下角頂點的矩形數目，那麼dp[i][j] = 1 + dp[i-1][j] + dp[i][j-1] – dp[i-1][j-1] , 這裏的1表示i ,j 位置的格子自身構成1*1的矩形，之所以減去dp[i-1][j-1], 因爲dp[i-1][j] 和 dp[i][j-1] 都包含了dp[i-1][j-1]。最後把所有dp[i][j]加起來就是我們所求的答案。
計算時注意i = 1 和 j = 1的邊界條件。dp[][0]=dp[0][]=1;dp[0][0]=2 (因爲dp[1][1]=1+dp[1][0]+dp[0][1]-dp[0][0]=1,所以dp[0][0]=2)

代碼

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define LL long long

using namespace std;

int main()
{
    int T,n,m;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        LL ans=(n*(1+n)/2)*(m*(1+m)/2);
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define LL long long

using namespace std;

const int maxn=105;
LL dp[maxn][maxn];
void init()
{
    for(int i=0;i<maxn;++i)
        dp[i][0]=dp[0][i]=1;
    dp[0][0]=2;
    for(int i=1;i<maxn;++i)
        for(int j=1;j<maxn;++j)
        dp[i][j]=1+dp[i-1][j]+dp[i][j-1]-dp[i-1][j-1];
}

void solve2(int n,int m)
{
    LL ans=0;
    for(int i=1; i<=n; ++i)
        for(int j=1; j<=m; ++j)
            ans+=dp[i][j];
    printf("%lld\n",ans);
}

int main()
{
    init();
    int T,n,m;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        solve2(n,m); //方法二
    }
    return 0;
}

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