next數組兩種求法

一、說明
（１）看到網上同一個字符串求 next 數組的值有兩種，一種是 -1 開頭，一種是 0 開頭，雖然有差別，但是以 0 開頭的next數組的每一項都比以 -1 開頭的next數組的對應項大1，所以，具體是以 0 開頭還是以 -1 開頭看需要吧，算法都是一樣的．KMP 的原始論文（K，M，P 三個傢伙寫的原文）中是以 0 開頭的，所以下面的寫法是以 0 開頭的．
（２）關於 next 數組的求法，網上能找到很多流行簡潔的寫法，也有很多文章對簡潔代碼講解得非常細緻，然而本文並不是對流行算法的剖析，而只是記錄一下自己比較喜歡的計算方法，並用代碼實現一下．

二、求法的文字描述

（1）第一種求法：根據前一個字符的next值求字符串記作 p；next 數組記作 next；

約定：

下標從 1 開始算，注意，不是從 0 開始算
字符串長度 >2

1）第一個字母的 next 值置 0 （next[1] = 0），第二個字母的 next 值置 1（next[2] = 1）；
2）從第 3 個開始，計算第 i 個位置的 next 值時，檢查

p[i-1]== p[next[i-1]] ?（即這兩個值是否相等）

解釋：第 i 個位置的前一個位置的值（即 p[i-1]，記作 m）與以 m 的 next 值（即 next[i-1]）爲下標的值（即 p[next[i-1]]，記作 n）是否相等，（看的懵懵的也沒關係，後面會有例子）

若相等，則 next[i] = next[i-1] + 1
若不等，則繼續往回找，檢查

p[i-1]== p[next[next[i-1]]] ?
- 若相等，則 next[i] = next[next[i-1]] + 1
- 若不等，則繼續往回找，直到找到下標爲 1 還不等（即字符串第一個元素），直接賦值 next[i] = 1

（2）第二種求法：根據最大公共元素長度求
首先附上講解的博文地址，裏面有詳細講解
http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/7041827

1）算出每一個字母前綴後綴的最大公共元素長度
2）最大公共元素長度整體向後移動一個長度，最前面的元素值填 -1，即爲 next 數組的第一版本
3）（如果你需要的 next 數組第一個值爲 -1，這步就可以省略了）next 數組的每一個值分別+1，即求得 next 數組。

三、實例

字符串 P =“ababaaababaa”

求解：
（1）對應上面第一種求法
1）初始化

P	a	b	a	b	a	a	a	b	a	b	a	a
下標	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
next	0	1

2）求下標爲 3 的字符的 next 值
P[3-1] = P[2] = ‘b’;
next[3-1] = next[2] = 1 ;
P[next[3-1]] = P[1] = ‘a’;
P[3-1] != P[next[3-1]] ，但是此時已經回溯到了第一個元素，
∴ 直接P[3] = 1 ;

P	a	b	a	b	a	a	a	b	a	b	a	a
下標	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
next	0	1	1

3）求下標爲 4 的字符的 next 值
P[4-1] = P[3] = ‘a’;
next[4-1] = next[3] = 1 ;
P[next[4-1]] = P[1] = ‘a’;
P[4-1] == P[next[4-1]] ;
∴ next[4] = next[4-1] + 1 = 2 ;

P	a	b	a	b	a	a	a	b	a	b	a	a
下標	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
next	0	1	1	2

4）求下標爲 5 的字符的 next 值
P[5-1] = P[4] = ‘b’;
next[5-1] = next[4] = 2 ;
P[next[5-1]] = P[2] = ‘b’;
P[5-1] == P[next[5-1]] ;
∴ next[5] = next[5-1] + 1 = 3 ;

P	a	b	a	b	a	a	a	b	a	b	a	a
下標	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
next	0	1	1	2	3

5）求下標爲 6 的字符的 next 值
推導過程同上 => next[6] = next[6-1] + 1 = 4 ;

P	a	b	a	b	a	a	a	b	a	b	a	a
下標	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
next	0	1	1	2	3	4

6）求下標爲 7 的字符的 next 值
P[7-1] = P[6] = ‘a’;
next[7-1] = next[6] = 4 ;
P[next[7-1]] = P[4] = ‘b’;
P[7-1] != P[next[7-1]] && 此時還未回到第一個，繼續
next[next[7-1]] = next[4] = 2 ;
P[next[next[7-1]]] = P[2] = ‘b’;^{番外（1）}
P[7-1] != P[next[next[7-1]]] && 但是此時還未回到第一個，繼續
next[next[next[7-1]]] = next[2] = 1 ;
P[next[next[next[7-1]]]] = P[1] = ‘a’ ;
P[7-1] == P[next[next[next[7-1]]]] ;
∴ next[7-1] = next[next[next[7-1]]] + 1 = next[2] + 1 = 2 ;

P	a	b	a	b	a	a	a	b	a	b	a	a
下標	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
next	0	1	1	2	3	4	2

7）求下標爲 8 的字符的 next 值
P[8-1] = P[7] = ‘a’；
next[8-1] = next[7] = 2 ;
P[next[8-1]] = P[2] = ‘b’;
P[8-1] != P[next[8-1]] ,但是還沒回到第一個元素，繼續
next[next[8-1]] = next[2] = 1 ;
P[next[next[8-1]]] = P[1] = ‘a’;
P[8-1] == P[next[next[8-1]]];
∴ next[8] = next[next[8-1]] + 1 = 2

P	a	b	a	b	a	a	a	b	a	b	a	a
下標	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
next	0	1	1	2	3	4	2	2

8）求下標爲 9 的字符的 next 值
推導過程同4) => next[9] = next[9-1] + 1 = 3 ;

P	a	b	a	b	a	a	a	b	a	b	a	a
下標	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
next	0	1	1	2	3	4	2	2	3

9）求下標爲 10 的字符的 next 值
推導過程同4) => next[10] = next[10-1] + 1 = 4 ;

P	a	b	a	b	a	a	a	b	a	b	a	a
下標	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
next	0	1	1	2	3	4	2	2	3	4

10）求下標爲 11 的字符的 next 值
推導過程同4) => next[11] = next[11-1] + 1 = 5 ;

P	a	b	a	b	a	a	a	b	a	b	a	a
下標	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
next	0	1	1	2	3	4	2	2	3	4	5

11）求下標爲 12 的字符的 next 值
推導過程同4) => next[12] = next[12-1] + 1 = 6 ;

P	a	b	a	b	a	a	a	b	a	b	a	a
下標	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
next	0	1	1	2	3	4	2	2	3	4	5	6

（2）對應上面第二種求法
1）算出每一個字母前綴後綴的最大公共子串長度（下一步會把最後一位移走，所以最後一位可以不算）^{番外（2）}

P	a	b	a	b	a	a	a	b	a	b	a	a
前後綴最大公共子串長度	0	0	1	2	3	1	1	2	3	4	5

2）最大公共子串長度整體向後移動一個長度，最前面的元素值填 -1，即爲 next 數組的第一版本

P	a	b	a	b	a	a	a	b	a	b	a	a
next 數組第一版	-1	0	0	1	2	3	1	1	2	3	4	5

3）（如果你需要的 next 數組第一個值爲 -1，這步就可以省略了）next 數組的每一個值分別+1，即求得 next 數組。

P	a	b	a	b	a	a	a	b	a	b	a	a
next 數組第二版	0	1	1	2	3	4	2	2	3	4	5	6

四、代碼實現

（１）對應上面第一種方法

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string.h>
using namespace std;

class Solution{
public:
    vector<int> getNext2(string ps){
        vector<int> next;
        int l = (int)ps.length();
        if(l == 0 ){
            return next;
        }else if(l == 1){
            next.push_back(0);
            return next;
        }else if(l == 2){
            next.push_back(0);
            next.push_back(1);
            return next;
        }
        char p[20];
        strcpy(p, ps.c_str());//字符串轉字符數組
        next.push_back(0);
        next.push_back(1);
        for(int i = 2;i<(int)ps.length();i++){
            int k = next[i-1];
            while(k!=0){
                if(p[i-1] == p[k-1]){//k-1是因爲，在計算機裏，數組下標是從0開始的
                    next.push_back(k+1);
                    break;
                }else{
                    k = next[k-1];
                }
            }
            if(k==0) {
                next.push_back(1);
            }
        }
        return next;
    }
};

（2）對應上面第二種方法

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string.h>
using namespace std;

class Solution{
public:
    vector<int> getNext2(string ps){
        vector<int> next;
        int l = (int)ps.length();
        if(l == 0 ){
            return next;
        }else if(l == 1){
            next.push_back(0);
            return next;
        }
        next.push_back(0);//next數組第一個值爲0
        for(int i = 0; i < l-1; i++ ){//最後一個最大公共子串長度不用算
            //計算每一個子字符串的前綴後綴最大公共子串長度
            int l = max_pub_substr(ps.substr(0,i+1));
            //右移後+1
            //for循環之前已加了一個數據0進next數組，此時再加進去元素時，元素在next數組裏的下標比得到該元素值的子串最後字符的下標大１，也就相當於向後移一位了
            next.push_back(l+1);
        }
        return next;
    }
    //計算前綴後綴的最大公共子串長度
    int max_pub_substr(string ps){
        int l = (int)ps.length();
        if(l == 0 || l == 1){
            return 0;
        }
        char p[20];
        strcpy(p, ps.c_str());//字符串轉字符數組
        int len = 0;
        int m = -1;//最後一個字符（不包括）之前與最後一個字符相等的字符下標 ｍ
        int k = -1;//已經查找過的字符下標
        while( k != l-1 ){
            k = m+1;
            for(; k < l-1; k++){
                if(p[k] == p[l-1]){
                    m = k;
                    break;
                }
            }
            if( m==-1 || k==l+1){//表示沒有與最後一個字符相等的字符
                return len;
            }else{//檢查前綴串和後綴串是否相等
                int i = 0,j = l-1-m;
                for(; i <= m,j < l; i++,j++){//i前綴下標,j後綴下標
                    //只要有不相等的就失敗
                    if(p[i] != p[j]){
                        break;
                    }
                }
                if( i == m+1 ){//說明前後串相等，因爲全都比較了，沒有中斷
                    len = m+1;
                }
            }
        }
        return len;
    }
};

五、驗證

int main(){
    string s = "ababaaababaa";
    Solution slt;
    vector<int> next = slt.getNext2(s);
    vector<int>::iterator it;
    for( it = next.begin(); it != next.end(); it++){
        cout<<*it;
    }
    return 0;
}

六、番外
（1）在這個地方，我們可以發現，P[2] == P[4] == ‘b’ ，由於P[4] != P[6] ，∴ P[2] != P[6] 是一定的，就可以跳過 P[2] 和 P[6] 的比較，直接比較 P[1] 和 P[6]；
（2）前綴後綴的最大公共元素長度

前綴：簡單來說，也就是，從第一個字母（必包括）開始往後看到最後一個字母（不包括）爲止的字符串的以第一個字母開頭的子串
（比如“abab”的前綴有a,ab,aba）;
後綴：簡單來說，也就是，從最後一個字母（必包括）開始往前看到第一個字母（不包括）爲止的字符串的子串
（比如“abab”的後綴有b,ab,bab）;
最大公共子串長度：也就是前綴和後綴擁有的相同子串的最大長度
以“abab”爲例：

模式串的各個子串	前綴	後綴	最大公共元素長度
a	空	空	0
ab	a	b	0
aba	a,ab	a,ba	1
abab	a,ab,aba	b,ab,bab	2

一種稍微快一點的小方法：
“abab”前後綴的公共子串必然是以 a（字符串第一個字母）開頭，b（字符串最後一個字母）結尾的子串，“abab”的前綴串中滿足條件的子串集合爲A={“ab”}，後綴串中滿足條件的子串集合爲B={“ab”}，再找出A,B集合中相等的子串集合C，最後算出C中最長子串的長度即爲最大公共子串長度。

好啦~~~寫了這麼多，我自己都懶得看T_T

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