Holt-Winters 季節方法

Holt (1957)和Winters (1960) 擴展了Holt的方法來捕捉季節性變化，該方法分爲預測方程和三個平滑方程，一個是水平lt$l_t$ ，一個是趨勢bt$b_t$ ，一個是季節性成分st$s_t$ ，採用平滑參數α,β∗$\alpha ,{\beta }^{\ast }$ 和γ$\gamma$ ，用m$m$ 代表季節性週期，例如一年中季節的數量，季的數量m=4$m=4$ ，月的數量m=12$m=12$ 。

該方法有兩種在季節分量上的區分。當季節變化在整個序列上總體是固定的話，採用相加的方法。當季節變量隨着序列的水平呈比例變化時，採用相乘的方法。

採用相加的方法，季節性分量採用序列值的絕對項，在水平方程中序列通過減去季節分量來季節性地調整。每年的季節分量加起來大約爲零。

採用相乘的方法，季節飯量表示爲相對形式（百分比），通過除以季節分量來週期性地調整序列。在每年，季節分量之和大概等於m$m$ .

Holt-Winters 加法模型

y^t+h|tℓtbtst=ℓt+hbt+st−m+h+m=α(yt−st−m)+(1−α)(ℓt−1+bt−1)=β∗(ℓt−ℓt−1)+(1−β∗)bt−1=γ(yt−ℓt−1−bt−1)+(1−γ)st−m,$$\begin{array}{rl}{\hat{y}}_{t+h|t}& ={\ell }_t+h{b}_t+s_{t-m+h_m^{+}}\\ {\ell }_t& =\alpha (y_t-s_{t-m})+(1-\alpha )({\ell }_{t-1}+b_{t-1})\\ b_t& ={\beta }^{\ast }({\ell }_t-{\ell }_{t-1})+(1-{\beta }^{\ast })b_{t-1}\\ s_t& =\gamma (y_t-{\ell }_{t-1}-b_{t-1})+(1-\gamma )s_{t-m},\end{array}$$

其中h+m=⌊(h−1)mod m⌋+1$h_m^{+}=\lfloor (h-1)\mathrm{mod}m\rfloor +1$ ，確定了季節性指標的估計源於最後一年的樣本。（⌊u⌋$\lfloor u\rfloor$ 代表不超過u的最大整數）。水平方程指出了季節調整量(yt−st−m)$(y_t-s_{t-m})$ 和非季節性預測(ℓt−1+bt−1)$({\ell }_{t-1}+b_{t-1})$ 之間的加權平均。趨勢方程與Holt的線性方程一致。季節性方程表明了當前的季節性指標(yt−ℓt−1−bt−1)$(y_t-{\ell }_{t-1}-b_{t-1})$ 和去年的季節性指標的加權平均。

季節性分量常表示爲：

st=γ∗(yt−ℓt)+(1−γ∗)st−m$$s_t={\gamma }^{\ast }(y_t-{\ell }_t)+(1-{\gamma }^{\ast })s_{t-m}$$

誤差修正形式爲：

ℓtbtst=ℓt−1+bt−1+αet=bt−1+αβ∗et=st−m+γet.$$\begin{array}{rl}{\ell }_t& ={\ell }_{t-1}+b_{t-1}+\alpha e_t\\ b_t& =b_{t-1}+\alpha {\beta }^{\ast }{e}_t\\ s_t& =s_{t-m}+\gamma e_t.\end{array}$$

其中，et=yt−(ℓt−1+bt−1+st−m)=yt−y^t|t−1$e_t=y_t-({\ell }_{t-1}+b_{t-1}+s_{t-m})=y_t-{\hat{y}}_{t|t-1}$ 是一步訓練預測誤差。

Holt-Winters 乘法模型

y^t+h|tℓtbtst=(ℓt+hbt)st−m+h+m.=αytst−m+(1−α)(ℓt−1+bt−1)=β∗(ℓt−ℓt−1)+(1−β∗)bt−1=γyt(ℓt−1+bt−1)+(1−γ)st−m$$\begin{array}{rl}{\hat{y}}_{t+h|t}& =({\ell }_t+h{b}_t)s_{t-m+h_m^{+}}.\\ {\ell }_t& =\alpha \frac{y_t}{s_{t-m}}+(1-\alpha )({\ell }_{t-1}+b_{t-1})\\ b_t& ={\beta }^{\ast }({\ell }_t-{\ell }_{t-1})+(1-{\beta }^{\ast })b_{t-1}\\ s_t& =\gamma \frac{y_t}{({\ell }_{t-1}+b_{t-1})}+(1-\gamma )s_{t-m}\end{array}$$

誤差修正形式爲：

ℓtbtst=ℓt−1+bt−1+αetst−m=bt−1+αβ∗etst−m=st+γet(ℓt−1+bt−1)$$\begin{array}{rl}{\ell }_t& ={\ell }_{t-1}+b_{t-1}+\alpha \frac{e_t}{s_{t-m}}\\ b_t& =b_{t-1}+\alpha {\beta }^{\ast }\frac{e_t}{s_{t-m}}\\ s_t& =s_t+\gamma \frac{e_t}{({\ell }_{t-1}+b_{t-1})}\end{array}$$

其中et=yt−(ℓt−1+bt−1)st−m$e_t=y_t-({\ell }_{t-1}+b_{t-1})s_{t-m}$

Holt-Winters 阻尼方法
一個經常達到最高精度的季節性方法是加入阻尼趨勢和乘法模型的Holt-Winters方法。

y^t+h|tℓtbtst=[ℓt+(ϕ+ϕ2+⋯+ϕh)bt]st−m+h+m.=α(yt/st−m)+(1−α)(ℓt−1+ϕbt−1)=β∗(ℓt−ℓt−1)+(1−β∗)ϕbt−1=γyt(ℓt−1+ϕbt−1)+(1−γ)st−m$$\begin{array}{rl}{\hat{y}}_{t+h|t}& =[{\ell }_t+(\varphi +{\varphi }^2+\cdots +{\varphi }^h)b_t]s_{t-m+h_m^{+}}.\\ {\ell }_t& =\alpha (y_t/s_{t-m})+(1-\alpha )({\ell }_{t-1}+\varphi b_{t-1})\\ b_t& ={\beta }^{\ast }({\ell }_t-{\ell }_{t-1})+(1-{\beta }^{\ast })\varphi b_{t-1}\\ s_t& =\gamma \frac{y_t}{({\ell }_{t-1}+\varphi b_{t-1})}+(1-\gamma )s_{t-m}\end{array}$$