Holt 線性趨勢模型，指數趨勢模型和阻尼形式

1 Holt線性趨勢模型
Holt 在1957年把簡單的指數平滑模型進行了延伸，能夠預測包含趨勢的數據，該方法包含一個預測方程和兩個平滑方程（一個用於水平，另一個用於趨勢）：

Forecast equationLevel equationTrend equationy^t+h|tℓtbt=ℓt+hbt=αyt+(1−α)(ℓt−1+bt−1)=β∗(ℓt−ℓt−1)+(1−β∗)bt−1$$\begin{array}{rlrl}\text{Forecast equation}& & {\hat{y}}_{t+h|t}& ={\ell }_t+h{b}_t\\ \text{Level equation}& & {\ell }_t& =\alpha y_t+(1-\alpha )({\ell }_{t-1}+b_{t-1})\\ \text{Trend equation}& & b_t& ={\beta }^{\ast }({\ell }_t-{\ell }_{t-1})+(1-{\beta }^{\ast })b_{t-1}\end{array}$$

其中lt$l_t$ 代表時刻t的預估水平，bt$b_t$ 代表時刻t的預測趨勢（或坡度），α$\alpha$ 是水平的平滑參數，β∗${\beta }^{\ast }$ 是趨勢的平滑參數。
這時候，預測函數不再是平的，而是具有趨勢的。

2 指數趨勢模型
另外一種Holt 線性模型的變體是指數趨勢模型，這時水平和趨勢不是相加的，而是相乘的。

y^t+h|tℓtbt=ℓtbht=αyt+(1−α)(ℓt−1bt−1)=β∗ℓtℓt−1+(1−β∗)bt−1$$\begin{array}{rl}{\hat{y}}_{t+h|t}& ={\ell }_t{b}_t^h\\ {\ell }_t& =\alpha y_t+(1-\alpha )({\ell }_{t-1}{b}_{t-1})\\ b_t& ={\beta }^{\ast }\frac{{\ell }_t}{{\ell }_{t-1}}+(1-{\beta }^{\ast })b_{t-1}\end{array}$$

其中bt$b_t$ 代表預估的增長率（以相對的形式而不是絕對的形式）。這時候的趨勢不是線性的，而是指數的。

3 阻尼趨勢模型
經驗表明，Holt的線性模型和指數模型傾向於對未來預測值過高，特別是對於長期預測。Gardner 和 McKenzie (1985)引入了一種阻尼效應，傾向於在未來保持一個水平的線。包含阻尼的趨勢被證明是一種非常有效的預測方法。

除了Holt的方法中的α$\alpha$ 和β∗${\beta }^{\ast }$ ，該方法還包含阻尼參數0<ϕ<1$0<\varphi <1$ :

y^t+h|tℓtbt=ℓt+(ϕ+ϕ2+⋯+ϕh)bt=αyt+(1−α)(ℓt−1+ϕbt−1)=β∗(ℓt−ℓt−1)+(1−β∗)ϕbt−1.$$\begin{array}{rl}{\hat{y}}_{t+h|t}& ={\ell }_t+(\varphi +{\varphi }^2+\cdots +{\varphi }^h)b_t\\ {\ell }_t& =\alpha y_t+(1-\alpha )({\ell }_{t-1}+\varphi b_{t-1})\\ b_t& ={\beta }^{\ast }({\ell }_t-{\ell }_{t-1})+(1-{\beta }^{\ast })\varphi b_{t-1}.\end{array}$$

如果ϕ=1$\varphi =1$ ，這種方法與Holt的線性模型相同。對於在0到1的值，ϕ$\varphi$ 對趨勢產生阻尼效應。實際上， 當h→∞$h\to \mathrm{\infty }$ 時對於任何的0<ϕ<1$0<\varphi <1$ 預測值收斂於lT+ϕbT/(1−ϕ)$l_T+\varphi b_T/(1-\varphi )$ 。
誤差校正形式是：

ℓtbt=ℓt−1+ϕbt−1+αet=ϕbt−1+αβ∗et.$$\begin{array}{rl}{\ell }_t& ={\ell }_{t-1}+\varphi b_{t-1}+\alpha e_t\\ b_t& =\varphi b_{t-1}+\alpha {\beta }^{\ast }{e}_t.\end{array}$$

4. 乘法阻尼趨勢
Taylor(2003)引入了一種阻尼參數，建立了乘法阻尼趨勢模型：

y^t+h|tℓtbt=ℓtb(ϕ+ϕ2+⋯+ϕh)t=αyt+(1−α)ℓt−1bϕt−1=β∗ℓtℓt−1+(1−β∗)bϕt−1.$$\begin{array}{rl}{\hat{y}}_{t+h|t}& ={\ell }_t{b}_t^{(\varphi +{\varphi }^2+\cdots +{\varphi }^h)}\\ {\ell }_t& =\alpha y_t+(1-\alpha ){\ell }_{t-1}{b}_{t-1}^{\varphi }\\ b_t& ={\beta }^{\ast }\frac{{\ell }_t}{{\ell }_{t-1}}+(1-{\beta }^{\ast })b_{t-1}^{\varphi }.\end{array}$$

這種方法的預測結果不像加法阻尼那麼保守，誤差校正形式是：

ℓtbt=ℓt−1bϕt−1+αet=bϕt−1+αβ∗etℓt−1.$$\begin{array}{rl}{\ell }_t& ={\ell }_{t-1}{b}_{t-1}^{\varphi }+\alpha e_t\\ b_t& =b_{t-1}^{\varphi }+\alpha {\beta }^{\ast }\frac{e_t}{{\ell }_{t-1}}.\end{array}$$