簡單指數平滑

簡單指數平滑

簡單指數平滑法（SES）適用於預測沒有趨勢和季節性的模型。

y^T+1|T=αyT+α(1−α)yT−1+α(1−α)2yT−2+⋯,$${\hat{y}}_{T+1|T}=\alpha y_T+\alpha (1-\alpha )y_{T-1}+\alpha (1-\alpha {)}^2{y}_{T-2}+\cdots ,$$

上式中，距離預測時間越近的日期佔的權重越大，距離越遠權重越小。
有三種等效形式：
1.1 權重平均形式
t+1時刻的預測值y^t+1|t${\hat{y}}_{t+1|t}$ 等於最近鄰的觀測值yt$y_t$ 和最近鄰的預測值y^t|t−1${\hat{y}}_{t|t-1}$ 的加權平均。

y^t+1|t=αyt+(1−α)y^t|t−1$${\hat{y}}_{t+1|t}=\alpha y_t+(1-\alpha ){\hat{y}}_{t|t-1}$$

該式子必須從某個地方起始，設置第一個預測值爲l0$l_0$ ，那麼

y^2|1y^3|2y^4|3⋮y^T+1|T=αy1+(1−α)ℓ0=αy2+(1−α)y^2|1=αy3+(1−α)y^3|2=αyT+(1−α)y^T|T−1$$\begin{array}{rl}{\hat{y}}_{2|1}& =\alpha y_1+(1-\alpha ){\ell }_0\\ {\hat{y}}_{3|2}& =\alpha y_2+(1-\alpha ){\hat{y}}_{2|1}\\ {\hat{y}}_{4|3}& =\alpha y_3+(1-\alpha ){\hat{y}}_{3|2}\\ ⋮\\ {\hat{y}}_{T+1|T}& =\alpha y_T+(1-\alpha ){\hat{y}}_{T|T-1}\end{array}$$

將上述方程按如下方式替換，可以得到：
y^T+1|T=∑T−1j=0α(1−α)j+(1−α)Tl0${\hat{y}}_{T+1|T}=\sum _{j=0}^{T-1}\alpha (1-\alpha {)}^j+(1-\alpha {)}^T{l}_0$

1.2 分量形式
簡單指數平滑方法中的位移組分是水平（level），其組分可以分爲一個預測方程和一個平滑方程，平滑方程對以前的level做指數平滑。表達式如下：

Forecast equationSmoothing equationy^t+1|tℓt=ℓt=αyt+(1−α)ℓt−1,$$\begin{array}{rlrl}\text{Forecast equation}& & {\hat{y}}_{t+1|t}& ={\ell }_t\\ \text{Smoothing equation}& & {\ell }_t& =\alpha y_t+(1-\alpha ){\ell }_{t-1},\end{array}$$

其中lt$l_t$ 是時間t$t$ 時刻的水平值。預測方程表明t+1時刻的預測值是t時刻的預估水平。平滑方程給出了在t時刻的預估水平。

1.3 誤差修正形式
第三種形式是通過將分量形式中的平滑方程重新組合，得到了誤差修正形式：

ℓt=ℓt−1+α(yt−ℓt−1)=ℓt−1+αet$$\begin{array}{rl}{\ell }_t& ={\ell }_{t-1}+\alpha (y_t-{\ell }_{t-1})\\ & ={\ell }_{t-1}+\alpha e_t\end{array}$$

其中et=yt−ℓt−1=yt−y^t|t−1$e_t=y_t-{\ell }_{t-1}=y_t-{\hat{y}}_{t|t-1}$ 。如果t時刻的誤差是負的，那麼y^t|t−1>yt${\hat{y}}_{t|t-1}>y_t$ ，所以t-1時刻的水平被高估了。新的水平lt$l_t$ 這時候是jt−1$j_{t-1}$ 向下調整。α$\alpha$ 越接近1，預估水平越粗糙（發生了很大的調整）。\alpha$越接近0，預估水平的平滑（發生了小的調整）

2 多個範圍的預測
目前爲止給出的預測方程都是隻預測後一個步長的的情況。簡單的指數平滑具有一個平的預測方程，對於更長期的預測，有：

y^T+h|T=y^T+1|T=ℓT,h=2,3,….$${\hat{y}}_{T+h|T}={\hat{y}}_{T+1|T}={\ell }_T,h=2,3,\dots .$$

這樣的預測只有在時間序列沒有趨勢或者季節性規律時才適用。

3 初始化
每個指數平滑方法都需要對平滑過程初始化。在簡單指數平滑時，需要給初始值水平l0$l_0$ 賦值，當時間序列較短或α$\alpha$ 較小時，權重可能會顯著影響預測結果。
另一種方式是通過優化的方法來確定l0$l_0$ 的值，例如在簡單指數平滑模型中，只有一個α$\alpha$ 值，可以通過比較平方誤差之和（SSE）來確定最佳的α$\alpha$ 。