01揹包

01揹包問題總結

 一 問題描述：
     有N件物品和一個容量爲V的揹包。第i件物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。
    所謂01揹包，表示每一個物品只有一個，要麼裝入，要麼不裝入。

二 解決方案：
   考慮使用dp問題 求解，定義一個遞歸式 opt[i][v] 表示前i個物品，在揹包容量大小爲v的情況下，最大的裝載量。
     opt[i][v] = max(opt[i-1][v] , opt[i-1][v-c[i]] + w[i]) 
   解釋如下：
     opt[i-1][v] 表示第i件物品不裝入揹包中，而opt[i-1][v-c[i]] + w[i] 表示第i件物品裝入揹包中。

  花費如下：
     時間複雜度爲o(V * T) ，空間複雜度爲o(V * T) 。 時間複雜度已經無法優化，但是空間複雜度則可以進行優化。
     但必須將V 遞減的方式進行遍歷，即V.......0 的方式進行。
 
三 初始化：
   （1）若要求揹包必須放滿，則初始如下：
        f[0] = 0 , f[1...V]表示-INF。表示當容積爲0時，只接受一個容積爲0的物品入包。
   （2）若要求揹包可以空下，則初始化如下：
        f[0...V] = 0 ，表示任意容積的揹包都有一個有效解即爲0。    
   具體解釋如下：
     初始化的f數組事實上就是在沒有任何物品可以放入揹包時的合法狀態。
     如果要求揹包恰好裝滿，那麼此時只有容量爲0的揹包可能被價值爲0的nothing“恰好裝滿”，
     其它容量的揹包均沒有合法的解，屬於未定義的狀態，它們的值就都應該是-∞了。
     如果揹包並非必須被裝滿，那麼任何容量的揹包都有一個合法解“什麼都不裝”，
     這個解的價值爲0，所以初始時狀態的值也就全部爲0了。

 

可以這樣理解：揹包的揹負有上限，因此在這個上限內儘可能多的裝東西，並且價值越多越好。

在這裏我之想討論動態規劃解決這個問題的詳細過程。

動態規劃是用空間換時間的一種方法的抽象。其關鍵是發現子問題和記錄其結果。然後利用這些結果減輕運算量。因爲揹包的最終最大容量未知，所以，我們得從1到M一個一個的試，比如，剛開始任選N件物品中的一個，看對應的M的揹包，能不能放進去，如果能放進去，並且還有多少空間，則，多出來的空間能放N-1物品中的最大價值，怎麼能保證總選則是最大價值呢，看下錶：
測試數據：
10,3
3,4
4,5
5,6

c[i][j]數組保存了1,2,3號物品依次選擇後的最大價值.

這個最大價值是怎麼得來的呢?從揹包容量爲0開始,1號物品先試,0,1,2,的容量都不能放.所以置0,揹包容量爲3則裏面放4.這樣,這一排揹包容量爲4,5,6,....10的時候，最佳方案都是放4.假如1號物品放入揹包.則再看2號物品.當揹包容量爲3的時候，最佳方案還是上一排的最價方案c爲4.而揹包容量爲5的時候，則最佳方案爲自己的重量5.揹包容量爲7的時候，很顯然是5加上一個值了。加誰??很顯然是7-4=3的時候.上一排c3的最佳方案是4.所以。總的最佳方案是5+4爲9.這樣.一排一排推下去。最右下放的數據就是最大的價值了。(注意第3排的揹包容量爲7的時候,最佳方案不是本身的6.而是上一排的9.說明這時候3號物品沒有被選.選的是1,2號物品.所以得9.

從以上最大價值的構造過程中可以看出。

f(n,m)=max{f(n-1,m), f(n-1,m-w[n])+P(n,m)}這就是書本上寫的動態規劃方程.

下面是一種實現過程：（C語言描述）

#include<stdio.h>
int c[10][100];
int knapsack(int m,int n)
{
    int i,j,w[10],p[10];
    for(i=1;i<n+1;i++)
    scanf("\n%d,%d",&w[i],&p[i]);
    for(i=0;i<10;i++)
    for(j=0;j<100;j++)
    c[i][j]=0;
    for(i=1;i<n+1;i++)
    for(j=1;j<m+1;j++)
    {
        if(w[i]<=j){
             if(p[i]+c[i-1][j-w[i]]>c[i-1][j])
                 c[i][j]=p[i]+c[i-1][j-w[i]]; 
             else
                 c[i][j]=c[i-1][j];
        }else 

             c[i][j]=c[i-1][j];
     }
     return(c[n][m]);
}
int main()
{
    int m,n;int i,j;

    printf("input the max capacity and the number of the goods:\n");
    scanf("%d,%d",&m,&n);
    printf("Input each one(weight and value):\n");
    printf("%d",knapsack(m,n));
    printf("\n");
    for(i=0;i<10;i++)
        for(j=0;j<15;j++)
        {
             printf("%d ",c[i][j]);
             if(j==14)printf("\n");
        }
    system("pause");
}

 四 代碼如下：
   

/**//*
 01揹包，使用了優化後的存儲空間 
 建立數組
 
   f[i][v] = max(f[i-1][v]  ,  f[i-1][v-c[i]] + w[i])  
    將前i件物品，放入容量爲v的揹包中的最大值。
     

下面介紹一個優化，使用一維數組，來表示
(1) f[v]表示每一種類型的物品，在容量爲v的情況下，最大值。
    但是體積循環的時候，需要從v----1循環遞減。 
   
   
初始化問題： 
(1)若要求揹包中不允許有剩餘空間，則可以將f[0]均初始化爲0，其餘的f[1..n]均初始化爲-INF 。 
    表示只有當容積爲0 的時候，允許放入質量爲0的物品。
    而當容積不爲0的情況下，不允許放入質量爲0的物品，並且把狀態置爲未知狀態。   



(2)若要求揹包中允許有剩餘空間 ，則可以將f[1n]，均初始化爲0。
   這樣，當放不下去的時候，可以空着。 
    
          
     
     
*/

#include <iostream>
 using namespace std ; 
 const  int V = 1000 ;  //總的體積 
 const  int T = 5 ;    //物品的種類 
 int f[V+1] ;
 //#define EMPTY                                      //可以不裝滿 
 int w[T] = {8 , 10 , 4 , 5 , 5};        //價值 
 int c[T] = {600 , 400 , 200 , 200 , 300};        //每一個的體積 
 const int INF = -66536  ;
   
 int package()
 {
 #ifdef EMPTY
    for(int i = 0 ; i <= V ;i++) //條件編譯，表示揹包可以不存儲滿
      f[i] = 0 ;    
 #else
    f[0] = 0 ;
    for(int i = 1 ; i <= V ;i++)//條件編譯，表示揹包必須全部存儲滿
      f[i] = INF ;   
 #endif
    
    for(int i = 0 ; i < T ; i++)
    {
      for(int v = V ; v >= c[i] ;v--) //必須全部從V遞減到0
         {              
           f[v] = max(f[v-c[i]] + w[i] , f[v])  ; //此f[v]實質上是表示的是i-1次之前的值。
         }                 
    }
    return f[V] ;        
 }
 
 int main()
 {
      
   int temp = package() ;   
   cout<<temp<<endl     ;   
   system("pause")      ;
   return 0 ;    
 }