Matlab中fft函數的用法及關鍵問題詳解

FFT是Fast Fourier Transform(快速傅里葉變換)的簡稱，這種算法可以減少計算DFT（離散傅里葉變換，關於此更詳細的說明見後文）的時間，大大提高了運算效率，並曾經一度被認爲是信號分析技術劃時代的進步，其重要性由此可見一斑。閒話少敘，言歸正傳。

基於FFT在信號分析中的重要性，其必然會成爲MATLAB的座上賓。FFT算法在MATLAB中實現的函數是Y=fft(x,n)。剛接觸頻譜分析用到FFT時，幾乎都會對MATLAB的fft函數產生一些疑惑，本文本着從問題出發的原則，主要着手對一下幾個問題進行解釋：

（一）fft函數計算得到的Y是輸入信號x的頻譜嗎？如果不是還要經過怎樣的變換？爲什麼要除以N。

（二）如何計算Y對應的頻率f，並繪製（f,Y）頻譜圖？

（三）如何根據離散信號的長度確定n的數值？

下面以MATLAB幫助文檔中的例子來一一看這幾個問題。

Fs = 1000;                    % Sampling frequency
T = 1/Fs;                     % Sample time
L = 1000;                     % Length of signal
t = (0:L-1)*T;                % Time vector
% Sum of a 50 Hz sinusoid and a 120 Hz sinusoid
x = 0.7*sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t);
y = x + 2*randn(size(t));     % Sinusoids plus noise
subplot(2,1,1)
plot(Fs*t(1:50),x(1:50))
title('Sinusoids Signal')
xlabel('time (milliseconds)')
subplot(2,1,2)
plot(Fs*t(1:50),y(1:50))
title('Signal Corrupted with Zero-Mean Random Noise')
xlabel('time (milliseconds)')

NFFT = 2^nextpow2(L); % Next power of 2 from length of y
Y = fft(y,NFFT)/L;    %                                            (1)
f = Fs/2*linspace(0,1,NFFT/2+1);
% Plot single-sided amplitude spectrum.
figure
plot(f,2*abs(Y(1:NFFT/2+1)))       %                               (2)
title('Single-Sided Amplitude Spectrum of y(t)')
xlabel('Frequency (Hz)')
ylabel('|Y(f)|')

運行結果：

1、關於問題（一）

程序（1）處爲何要除以信號的採樣長度L？

由Fourier變換對

可知，fft函數直接計算得到的X（k）並不是頻譜幅值。

在x(j)的Fourier級數（3）中，諧波分量

對應的幅值爲X(k)/N，因此必須對fft得到的結果除以離散信號的長度N才能得到頻譜幅值。

2、關於問題（三）

程序（1）處，fft函數的第二個參數NFFT爲何取值

NFFT = 2^nextpow2(L);

其含義是取不小於L的最小的2的冪。之所以這樣取值是因爲FFT算法要求信號的長度爲2的冪，當NFFT大於信號長度時，fft函數以零補齊。

由（2）可知幅值譜只取了前半部分，並且還要乘以倍數2。也就是說頻譜幅值是

2*abs(Y(1:NFFT/2+1))

這是因爲信號的頻譜是前後對稱的，而且一般負頻率沒有物理意義。也就是說絕對值相等的頻率，其對應的頻率幅值是相等的，所以把正頻率對應的頻率幅值的兩倍作爲頻譜幅值。

3、關於問題（二）

由離散傅里葉變換（DFT）的推導過程可知，如果信號的時間長度是T0，則用DFT進行頻譜分析的頻率分辨率是1/T0。由於fft函數取信號的長度是NFFT，採樣頻率是Fs，由此可知fft的頻率分辨率是Fs/NFFT。因此與頻譜幅值

2*abs(Y(1:NFFT/2+1))

相對應的頻率值是

f=1/(NFFT*T)*(0:NFFT/2);

或者

f = Fs/2*linspace(0,1,NFFT/2+1);