數學建模作業一

人口模型

PB15000105 肖映泰
深圳在改革開放後迎來了巨大的發展，本人從深圳統計局獲取了深圳市1979-2016年來的人口數，希望通過建立適當的模型預測深圳市接下來的人口增長情況，用以給出合理的政策建議。

這裏我們採用第三列數據，即分析總人口變化規律

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下面主要從兩個模型入手分析和預測人口變化情況

一、指數增長模型——Malthus模型
1.模型假設
基本假設：人口的自然增長率是一個常數，或者說單位時間內人口增長量與當時的人口數成正比。
2.模型建立
設：t時刻人口數爲x(t)，人口自然增長率爲r
由模型假設可以得到

{x′(t)x(0)=r∗x(t)=x0$$\{\begin{array}{rl}{x}^{\prime }(t)& =r\ast x(t)\\ x(0)& =x_0\end{array}$$

3.模型求解
通過求解上述微分方程，可以得到

x(t)=x0ert$$x(t)=x_0{e}^{rt}$$

是一個指數函數
4.模型分析
一般來說，r<<1$r<<1$ ，存在估計er≈1+r$e^r\approx 1+r$ ，由此得到x(t)≈x0(1+r)t$x(t)\approx x_0(1+r{)}^t$ ，便是最基本的人口增長模型。
不足之處：儘管Malthus模型可以較爲準確地預測短期內人口的變化規律，但是人口不可能無限增長，故需要對模型進行一定的修改。

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二、阻滯增長模型——Logistic模型
1.模型假設
基本假設：人口的自然增長率是人口總數x(t)的線性函數
2.模型建立
令人口自然增長率爲

r(x)=r−s∗x(s,r>0)$$\begin{gathered} r(x)=r-s\ast x \\ (s,r>0) \end{gathered}$$

設最大人口容量爲xm$x_m$ ，則有r(xm)=0$r(x_m)=0$
帶入上述表達式得到

sr(x)=rxm=r(1−xxm)$$\begin{array}{rl}s& =\frac{r}{x_m}\\ r(x)& =r(1-\frac{x}{x_m})\end{array}$$

於是得到微分方程

⎧⎩⎨x′(t)x(0)=r(1−xxm)x(t)=x0$$\{\begin{array}{rl}{x}^{\prime }(t)& =r(1-\frac{x}{x_m})x(t)\\ x(0)& =x_0\end{array}$$

3.模型求解
利用MATLAB求解上述微分方程可得

x(t)=xm1+(xmx0−1)∗e−rt$$x(t)=\frac{x_m}{1+(\frac{x_m}{x_0}-1)\ast e^{-rt}}$$

4.模型分析
兩種模型對比如下
人口變化率x′(t)−t$x^{\prime }(t)-t$ 圖

人口函數x(t)−t$x(t)-t$ 圖

可以看出，人口變化初期，Malthus模型與Logistic模型刻畫情況相近，隨着時間變化，Logistic模型增長率趨於0，增長放緩，從長期來看，更加符合現實情況。

需要注意的是，這兩種模型只考慮了相對簡單的情形，若需要更加精確的分析，還得進一步建模，這有待後續的研究。

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三、模型的參數估計，檢驗和預報
1.選取數據
年末常住人口數 (萬人)

自然增長率變化圖

結合深圳的發展歷程，從圖中可以看出，在改革開放初期，人口穩步上升。由於1982年確定了計劃生育的基本國策，人口自然增長率開始下降，但由於當時處於育齡期人口較多，1990年左右自然增長率沒有顯著下降，而進入21世紀後，而已看出人口增長率有明顯的下降趨勢。

2.參數估計
計算估計與原始數據的平方差的和關於參數r的函數，尋找最小的r作爲估計參數
（1）Malthus模型
誤差關於參數r 繪圖如下

利用Matlab計算得到估計結果爲

rx(t)=0.1065=31.41e0.1065t$$\begin{array}{rl}r& =0.1065\\ x(t)& =31.41e^{0.1065t}\end{array}$$

(2) Loistic模型
誤差關於參數R=[r,xm] 繪圖如下

利用Matlab計算得到估計結果爲

rxmx(t)=0.1847=1144.2=1144.21+(1144.221.41−1)∗e−0.1847t=1144.21+52.44∗e−0.1847t$$\begin{array}{rl}r& =0.1847\\ x_m& =1144.2\\ x(t)& =\frac{1144.2}{1+(\frac{1144.2}{21.41}-1)\ast e^{-0.1847t}}\\ & =\frac{1144.2}{1+52.44\ast e^{-0.1847t}}\end{array}$$

3.數據檢驗
將預測模型和原始數據作對比得到如下結果
Malthus模型

Logistic模型

從圖中可以看出，Malthus模型預測效果不太理想，而且偏差越來越大，Logistic模型預測效果比較理想。

4.人口預測
利用得到的模型預測未來10年深圳市人口總數
Logistic模型預測結果

從圖中可以看出深圳未來10年人口走勢趨於平緩，未來可能出現人口老齡化的問題。因此政府可以適當採取鼓勵生育政策，如響應開放二胎等。

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四、不足與未來工作
雖然Logistic模型在一定程度上和現實情況較爲吻合，但很明顯這個模型不夠精確，不能反映出計劃生育以及經濟發展對人口增長的影響，也不能反映外來人口對總人口的影響。

未來的工作可以將這些影響以參數形式加入模型中，使得模型更具備說服力。