一個行列式求導

一個行列式求導公式

$\frac{d|A|}{dt} = |A|tr(A^{-1}*\frac{dA}{dt}),\ A\in R^{n \times n}$

證明如下

首先我們有
$\begin{aligned} |A(a_{ij}+\epsilon)|-|A(a_{ij})| &= \epsilon A_{ij} \\ \\ \frac{d|A|}{da_{ij}} &= A_{ij} \end{aligned}$
其中$A_{ij}$是代數餘子式， $|A(a_{ij}+\epsilon)|$表示$a_{ij}$ 變成 $a_{ij}+\epsilon$ 時的行列式

由此我們可以得到
$\begin{aligned} \frac{d|A|}{dt} &=\Sigma_{i=1}^{n} \Sigma_{j=1}^{n} \frac{\partial |A|}{\partial a_{ij}} \frac{da_{ij}}{dt} \\ &=|A| \Sigma_{i=1}^{n} \Sigma_{j=1}^{n} \frac{A_{ij}}{|A|} \frac{da_{ij}}{dt} \\ &= |A|\Sigma_{j=1}^{n} (\Sigma_{i=1}^{n} A_{ji}^{-1} \frac{da_{ij}}{dt}) \\ &= |A| \Sigma_{j=1}^n (A^{-1} \frac{dA}{dt})_{jj} \\ &= |A|tr(A^{-1}\frac{dA}{dt}) \end{aligned}$
其中第三、第四個等式分別使用到了
$\begin{aligned} (A^{-1})_{ij} &= \frac{A_{ji}}{|A|} \\ \\ (AB)_{jj} &= \Sigma_{i=1}^n A_{ji}B_{ij} \end{aligned}$