自相關函數

在統計裏，兩個隨機變量X，Y的相關函數定義如下：

也就是兩個隨機變量協方差除以標準差之積。

如果X是一個時間的隨機變量序列，將不同時間起始點的兩個序列Xt和Xs看成兩個隨機變量，上面的相關函數則可表示爲：

 如果Xt是一個二階穩態過程，即均值和方差不隨時間而變化。，此時相關函數只是時間差τ=s-t的一個函數，則上式可重寫爲：

 這就是統計學上的自相關函數。

就這麼個玩意，表達了個什麼意思呢？

讓我們把期望展開來看，也就是當隨機變量序列有樣本點時：

 

而向量內積計算結果，是兩個向量間夾角的餘弦值。當兩個向量相同時，夾角爲0，而餘弦值，即自相關函數取值爲1。

所以，自相關函數在統計上，反映了同一序列在不同時刻的取值之間的相關程度。