瞭解拉普拉斯算子

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1. Laplace算子的定義

       直奔主題：Laplace算子被定義爲函數梯度的散度，即：
       
       在圖像處理，我們知道經常把Laplace算子作爲邊緣檢測之一，也是工程數學中常用的一種積分變換。

• 梯度：
  假設在空間座標系下，那麼一個函數 f(x,y,z) 在點 (x₀ , y₀ ,z₀) 處的梯度定義如下：
   
                                     $\bigtriangledown f=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})|_{x=x_{0},y=y_{0},z=z_{0}}$
   
  於是梯度函數：$\bigtriangledown f=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot \vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot \vec{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\cdot \vec{k}$
   
• 散度：
  假設在空間座標系下，若函數 $F(x,y,x)=F_{x}\cdot \vec{i}+F_{y}\cdot \vec{j}+F_{z}\cdot \vec{k}$ ，那麼其散度定義如下：
   
                                     $div\ F=\bigtriangledown \cdot F=\frac{\partial F_{x}}{\partial x}+\frac{\partial F_{y}}{\partial y}+\frac{\partial F_{z}}{\partial z}$
   
• Laplace算子：
                

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2. 轉換成離散形式

       在圖像處理領域，由於圖像有ｘ和ｙ兩個方向，且是離散分佈的，需要將Laplace算子方程表示爲其在ｘ,ｙ兩個方向的離散形式：

• 離散一階微分方程： $\frac{\partial f}{\partial x}=f(x+1)-f(x)$
• 離散二階微分方程： $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=f(x+1)+f(x-1)-2f(x)$
• Laplace算子離散方程：
         
  轉換成卷積核表示如下：