解讀拉普拉斯矩陣

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1. 什麼是Laplace矩陣？

       拉普拉斯矩陣(Laplacian matrix) 也叫做導納矩陣，這次筆記主要是記錄下GCN學習時的注意點，在圖論（Graph theory）中，對於圖 G=(V,E)：

       Laplacian 矩陣的定義爲 L = D - A （其中 L 是Laplacian 矩陣， D=diag(d)是對角矩陣，d=rowSum(A)，對角線上元素依次爲各個頂點的度， A 則是圖的鄰接矩陣）

若只考慮無向圖，那麼L就是對稱矩陣。

對於無向圖的Laplace矩陣，它有哪些性質？

• 半正定矩陣（特徵值非負，且是對稱矩陣）；
• 對稱矩陣（一定有n個線性無關的特徵向量）；
• 對稱矩陣的不同特徵值對應的特徵向量相互正交，這些正交的特徵向量構成的矩陣爲正交矩陣；
• 由於是半正定矩陣，所以是對稱陣，那麼能特徵值分解（EVD）。
  
  由於 U 是正交矩陣，即UU^T=I，所以特徵值分解又可以寫成：
                                            

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2. 常見的Laplace矩陣

2.1 一般形式

2.2 對稱歸一化形式

2.3 隨機遊走歸一化形式

Reference

• 圖卷積網絡 GCN Graph Convolutional Network（譜域GCN）的理解和詳細推導-持續更新