数学建模作业一

人口模型

PB15000105 肖映泰
深圳在改革开放后迎来了巨大的发展，本人从深圳统计局获取了深圳市1979-2016年来的人口数，希望通过建立适当的模型预测深圳市接下来的人口增长情况，用以给出合理的政策建议。

这里我们采用第三列数据，即分析总人口变化规律

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下面主要从两个模型入手分析和预测人口变化情况

一、指数增长模型——Malthus模型
1.模型假设
基本假设：人口的自然增长率是一个常数，或者说单位时间内人口增长量与当时的人口数成正比。
2.模型建立
设：t时刻人口数为x(t)，人口自然增长率为r
由模型假设可以得到

{x′(t)x(0)=r∗x(t)=x0$$\{\begin{array}{rl}{x}^{\prime }(t)& =r\ast x(t)\\ x(0)& =x_0\end{array}$$

3.模型求解
通过求解上述微分方程，可以得到

x(t)=x0ert$$x(t)=x_0{e}^{rt}$$

是一个指数函数
4.模型分析
一般来说，r<<1$r<<1$ ，存在估计er≈1+r$e^r\approx 1+r$ ，由此得到x(t)≈x0(1+r)t$x(t)\approx x_0(1+r{)}^t$ ，便是最基本的人口增长模型。
不足之处：尽管Malthus模型可以较为准确地预测短期内人口的变化规律，但是人口不可能无限增长，故需要对模型进行一定的修改。

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二、阻滞增长模型——Logistic模型
1.模型假设
基本假设：人口的自然增长率是人口总数x(t)的线性函数
2.模型建立
令人口自然增长率为

r(x)=r−s∗x(s,r>0)$$\begin{gathered} r(x)=r-s\ast x \\ (s,r>0) \end{gathered}$$

设最大人口容量为xm$x_m$ ，则有r(xm)=0$r(x_m)=0$
带入上述表达式得到

sr(x)=rxm=r(1−xxm)$$\begin{array}{rl}s& =\frac{r}{x_m}\\ r(x)& =r(1-\frac{x}{x_m})\end{array}$$

于是得到微分方程

⎧⎩⎨x′(t)x(0)=r(1−xxm)x(t)=x0$$\{\begin{array}{rl}{x}^{\prime }(t)& =r(1-\frac{x}{x_m})x(t)\\ x(0)& =x_0\end{array}$$

3.模型求解
利用MATLAB求解上述微分方程可得

x(t)=xm1+(xmx0−1)∗e−rt$$x(t)=\frac{x_m}{1+(\frac{x_m}{x_0}-1)\ast e^{-rt}}$$

4.模型分析
两种模型对比如下
人口变化率x′(t)−t$x^{\prime }(t)-t$ 图

人口函数x(t)−t$x(t)-t$ 图

可以看出，人口变化初期，Malthus模型与Logistic模型刻画情况相近，随着时间变化，Logistic模型增长率趋于0，增长放缓，从长期来看，更加符合现实情况。

需要注意的是，这两种模型只考虑了相对简单的情形，若需要更加精确的分析，还得进一步建模，这有待后续的研究。

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三、模型的参数估计，检验和预报
1.选取数据
年末常住人口数 (万人)

自然增长率变化图

结合深圳的发展历程，从图中可以看出，在改革开放初期，人口稳步上升。由于1982年确定了计划生育的基本国策，人口自然增长率开始下降，但由于当时处于育龄期人口较多，1990年左右自然增长率没有显著下降，而进入21世纪后，而已看出人口增长率有明显的下降趋势。

2.参数估计
计算估计与原始数据的平方差的和关于参数r的函数，寻找最小的r作为估计参数
（1）Malthus模型
误差关于参数r 绘图如下

利用Matlab计算得到估计结果为

rx(t)=0.1065=31.41e0.1065t$$\begin{array}{rl}r& =0.1065\\ x(t)& =31.41e^{0.1065t}\end{array}$$

(2) Loistic模型
误差关于参数R=[r,xm] 绘图如下

利用Matlab计算得到估计结果为

rxmx(t)=0.1847=1144.2=1144.21+(1144.221.41−1)∗e−0.1847t=1144.21+52.44∗e−0.1847t$$\begin{array}{rl}r& =0.1847\\ x_m& =1144.2\\ x(t)& =\frac{1144.2}{1+(\frac{1144.2}{21.41}-1)\ast e^{-0.1847t}}\\ & =\frac{1144.2}{1+52.44\ast e^{-0.1847t}}\end{array}$$

3.数据检验
将预测模型和原始数据作对比得到如下结果
Malthus模型

Logistic模型

从图中可以看出，Malthus模型预测效果不太理想，而且偏差越来越大，Logistic模型预测效果比较理想。

4.人口预测
利用得到的模型预测未来10年深圳市人口总数
Logistic模型预测结果

从图中可以看出深圳未来10年人口走势趋于平缓，未来可能出现人口老龄化的问题。因此政府可以适当采取鼓励生育政策，如响应开放二胎等。

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四、不足与未来工作
虽然Logistic模型在一定程度上和现实情况较为吻合，但很明显这个模型不够精确，不能反映出计划生育以及经济发展对人口增长的影响，也不能反映外来人口对总人口的影响。

未来的工作可以将这些影响以参数形式加入模型中，使得模型更具备说服力。